Решение.  а  Функция  определена  при  всех  




Скачать 35.94 Kb.
PDF просмотр
НазваниеРешение.  а  Функция  определена  при  всех  
Дата конвертации05.10.2012
Размер35.94 Kb.
ТипРешение






КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2 
(Введение в анализ) 
 
11. Построить графики функций:  
⎛ π

а)  ( 2− 2);   б)  = −log 2+ 2 ;   в) 
2
= 4sin

.  
1 (
)
x


⎝ 4

2
 
 
Решение.  а) Функция  определена  при  всех  ∈ .  По  свойству  арифметического 
корня 
2
,  поэтому  функцию  можно  записать  в  виде  − 2) .  Заметим  сразу, 
что  функция  нечетна: 
(−x) = −( −− 2) = −− 2) = − x) ,  поэтому  график 
симметричен  относительно  начала  координат.  При 
≥ 0  
имеем 
 
и 
− ) = − = ( − )2
2
2
2
1 −1. Графиком – при  ≥ 0  – является парабола с вершиной 
в  точке  (1,− )
1 ,  корнями  = 0   и  = 2 ,  с  ветвями,  направленными  вверх.  Используя 
симметрию относительно начала, строим график – рис. 7а.  
 
 
Рис. 7а 
 
 
б) Область определения функции находим из неравенства  2+ 2 > 0 ⇔ ∈ (−1,∞) . 
График  расположен  правее  прямой  = −1.  Используем  свойства  логарифма: 
1)  log = − log
 и 2)  log mn = log + log
 ( > 0 ,  > 0 ), преобразуем функцию  
1
b
n
a
a
a
a
a
= log
2+ 2 = log 2 + 1 = log 2 + log + 1 = 1+ log + 1 . 
2 (
)
2
(
)
2
2 (
)
2 (
)
Перенесем  начало  координат  в  точку  '(−1, )
1 ,  тогда  в  новых  координатах  , 
+ 1,  −1) уравнение кривой примет вид  = log
. Строим график – рис. 7б. 
X
⎛ 1

(Вспомогательные точки в новой системе XY :  (1,0) ,  (2, )
1 , 
, −1

⎟ ,  (4,2)  и т.д.).  
⎝ 2

 
 
 
 













 
 
Рис. 7б 
 
1 cos 2α
 
в) Преобразуем 
функцию 
с 
помощью 
формулы 
2
sin α

=

2
1 ⎛
⎛ π
⎞⎞

⎛ π


= 4 ⋅
1− cos
− 2x
= 2 − 2sin 2x



     
cos
− = sinα



.  Перенесем  начало 
2


2


⎠⎠

⎝ 2


координат  в  точку  '(0,2) :  ,  − 2 = .  В  системе  XY   получим  уравнение 
= −2sin 2 . График получим из графика  = sin  путем стандартных преобразований: 
1) = − sin  – симметрия  относительно  оси  ; 2) = − sin 2 – сжатия  вдоль  оси 


  в 2 
раза  (период  равен  =
=
= π ,  в  записи  sinω     ω  – частота); 
ω
x
2
3) = −2sin 2 – растяжение вдоль оси  OY  в  = 2  раза ( Asinω,    – амплитуда). На 
⎛ π

промежутке длины периода  ( ∈[0,π ])  отметим точки (в новой системе):  (0,0) , 
, −2

⎟ , 
⎝ 4

⎛ π
⎞ ⎛ 3π

,0

⎟ , 
,2

⎟ ,  (π ,0) , График – рис. 7в.  
⎝ 2 ⎠ ⎝ 4

 
π
π
− 2
2
π

O'(0;2)
  
Рис. 7в  

Вычислить пределы (не пользуясь правилом Лопиталя) – № 11–14.  
 
2
⎛ 2− +1 3+1⎞
12.  lim ⎜

⎟  
n→∞ ⎝ 1+ 2n
3 ⎠
 
 
Решение. Предел приводится к виду  
2
2
6− 3+ 3 − 3−1− 6− 2n
−8+ 2
lim
=
 
n→∞
( + n)
lim
3 1 2
n→∞
6+ 3

–  неопределенность  типа 
.  Для  устранения  неопределенности  делим  числитель  и 

знаменатель на  :  
2
8
− +
8
− + 0
4
lim
=
= −   
n→∞
3
6 + 0
3
6 + n
(применили теорему о связи бесконечно-малой и бесконечно-большой, а также теоремы о 
пределе суммы, разности, произведения и частного).  
4
 
Ответ:  − .  
3
 
 
3
− 8
13.  lim
.  
2
x→2 2− 5+ 2
 
 
Решение.  Непосредственная  подстановка  = 2   в  выражение  под  знаком  предела 
0
3

2 − 8

дает  неопределенность  типа      ⎜
⎟ .  Раскладываем  на  множители  числитель 
0 ⎝ 2⋅4 − 5⋅2 + 2 ⎠
по формуле разности кубов и знаменатель – по формуле 
2
ax bx 

, где 
1
)( x
2
)
±


+ =
5
25 16
  при 
=
,  = 2 , 
1
  и 
2
 – корни  квадратного  трехчлена; 
2
2x
52 0
x
4
1
1
2
=
. Получим  
2
(− 2)( 2+ 2+ 4)
2
2
+ 2+ 4
2 + 2⋅ 2 + 4 12
lim
= lim
=
=
= 4   
x→2
(




⋅ −
− )
x
2
1
21
2 2 1
3
2




2 ⎠
(последний предел вычислен по теоремам о пределе суммы, произведения и частного).  
 
Ответ: 4.  
 
 
2
6+ 5+1
14.  lim
.  
1
x→−
10 + 3− 3
3
 
1
0
 
Решение.  Непосредственная  подстановка  = −   дает  неопределенность 

3
0
Разложим числитель на множители аналогично № 13 и освободимся от иррациональности 
в знаменателе.  

5
− ± 25 − 24
1
1
2
6+ 5+1 = 0  при  =
;    = − ,    = − .  
12
1
3
2
2
( 10+3−3)( 10+3+3) 10+3x−9
3+1
10 + 3− 3 =
=
=
.  
10 + 3+ 3
10 + 3+ 3
10 + 3+ 3
Получаем  

1 ⎞⎛
1 ⎞
+
+

⎟⎜
⎟( 10 + 3+ 3)
(6+3)

⎠⎝

( 10+3+3
3
2
)
lim
= lim
=  
1
1


x→−
1
x→−
3
3
+
3



3 ⎠
⎛ ⎛ 1 ⎞
⎞⎛
⎛ 1


6⋅ −
+ 3
⎜ ⎜

⎟⎜ 10 + 3⋅ −
+ 3



⎝ ⎝ 3



⎝ 3


(3− 2)


( 9 +3) 3+3
=
=
=
= 2 .  
3
3
3
 
Ответ: 2.  
 
 
n
2
2
⎛ 2+1 ⎞
15.  lim ⎜
.  
2

n→∞ ⎝ 2− 
 
 
Решение.  В  данном  случае  имеем  неопределенность  типа  1∞ ,  так  как 
1
2
2 + 2
2+1
n
=
→1 (аналогично № 12), а  → ∞ .  
2
2− n
1
2 −
2
n
 
Представим основание степени в виде 1+α , где α → 0 :  
n
n
2
2
2+1
2− +1+ n
+1
=
=

1

1+
    α
+
=
→ 0 .  
2
2
2


2− n
2− n
2− n
n
2

2− n

Воспользуемся формулой  lim (1+α )1α =  (2-й замечательный предел), представив предел 
α →0
в виде:  
n
1
+

1
2
2 2n


αn

6
474
8
2

2n


1
+


n
n(n+ )
1
lim



+
2
1 ⎞

+1 ⎟
n→∞ 2( 2
2n)
lim 1+
= lim ⎢


⎜1+


e
 
2
2
n→∞ ⎝
2
n
− n
→∞


2− n


1
424
3 ⎟
⎢⎝
α →0


n






предел в показателе вычисляется аналогично № 12:  
1
2
1+
n
1
lim
n
=
= , 
n→∞ 2 (
lim
2
2− nn→∞ ⎛
1 ⎞ 4
2 2 −





1
окончательно искомый предел равен  4
4
.  
 
Ответ:  4 .  
 
 
3−1
16. Вычислить предел, используя эквивалентность бесконечно малых  lim
.  
x→0 1− cos 6x
0
0
⎛ 3 −1 ⎞
Решение.  Имеем  неопределенность 
  ⎜
⎟ ,  числитель  и  знаменатель – 
0 ⎝1− cos0 ⎠
бесконечно-малые (при  → 0 ). Бесконечно-малые α (x)  и β (x)  при  
 называются 
0
x
α(x)
эквивалентными,  если  lim
= 1  (обозначение  α β ).  Известно,  что  x
−1
ln   и 
x→ 0
β (x)
sin mx mx .  В  нашем  случае  3−1 ln 3 ,   
2
2
1− cos 6= 2sin 32⋅3⋅3= 18
α
γ
Применяя свойство эквивалентности:  lim
= lim , где α γ ,  β δ , получаем:  
β
δ
3−1
ln 3
ln 3
1
lim
= lim
=
lim = ∞  
2
x→0
x→0
x→0
1− cos 6x
18x
18
x
– по теореме о связи бесконечно-малой и бесконечно-большой.  
 
Ответ:  ∞ .  
ln 3
(Замечание:  так  как 
> 0 ,  то  можно  уточнить  ответ:  при  → 0 + 0   ( > 0 )  правый 
18
предел равен  +∞ , а при  → 0 − 0  левый   −∞ ).  
 
 
 
 
17. Исследовать на непрерывность функцию 
x
=
 и построить ее график.  
2
− 4
 
 
Решение.  Данная  функция  является  элементарной  (как  отношение  двух 
элементарных  функций    и  2
− 4 )  и  по  известной  теореме  непрерывна  в  каждой  точке 

 (
lim (x) =
 – определение непрерывности 
0
x
D
 – область определения), т.е. 
( 0
)
f
f
x→ 0
x
функции в точке. Область определения данной функции – множество всех точек оси  Ox 
для которых  2
− 4 ≠ 0 , т.е.  
: (−∞, 2
− ) U( 2
− , 2) U(2,+∞ .  
f
)
Граничные  точки  = 2
−   и  = 2   являются  точками  разрыва.  Исследуем  характер 
1
2
разрыва в точке  = 2 , для чего вычислим пределы:  
lim
x
= lim
x
= +∞ , 
2
x→2+0
x→2+0
− 4
(+ 2)(− 2)
lim
x
= −∞ .  
2
x→2−0 − 4
Таким  образом,  согласно  определению,  = 2  – точка  бесконечного  разрыва (2-го  рода). 
Аналогичный характер имеет точка разрыва  = 2
− , для которой  









lim
x
= ∞
2
x→2±0 
m .  
4
Для  построения  графика  заметим,  что  функция – нечетная  ( (−x) = − (x)) ,  график 
симметричен  относительно  начала  координат.  Прямые  = 2   и  = −2  – вертикальные 
асимптоты графика. Найдем дополнительно  
1
lim
x
= lim = 0 , 
2
x→∞ − 4
x→∞
4
1− 2
x
откуда  следует,  что  прямая  = 0   (ось  Ox ) – горизонтальная  асимптота.  Вычислим 
1
3
3
дополнительно (0
f
) = 0 ,  (1) = − ,  (3) = ,  (6) =
.  
2
5
16
 
Ответ:  функция  непрерывна  во  всех  точках  оси  Ox ,  за  исключением  = 2   и 
= −2 .  Точки  = 2 ,  = −2  – точки  разрыва 2-го  рода  (бесконечный  разрыв). 
Схематичный график – рис. 8.  
 
 
 
 
Рис. 8 
 
 
18. То же задание, что в № 17, для функции  
⎡1 ,
∈ (−∞, 1
− ]
⎢ x

2
(x) = 1
⎢ − ∈(−1,0] .  
⎢sin x

,
∈ (0, +∞)
⎢⎣ x
 







 
Решение. Поскольку в каждом из трех интервалов  (−∞,− )
1 ,  ( 1,
− 0) ,  (0,+∞) данная 
функция  задана  формулой,  представляющей  (в  этих  интервалах)  элементарную 
функцию*), определенную в соответствующих интервалах и, следовательно, непрерывную 
в  них,  то  точками  разрыва  могут  быть  лишь  точки  «стыка» –  = −1   и  = 0 ,  в  которых 
меняются  формулы,  задающие (x) .  Найдем  односторонние  пределы  функции  в  этих 
точках:  
1
lim (x) = lim
= 1
− ,  
x
1
→− −0
x→−1 x
lim (x) = lim (
2
1− ) = 0 .  
x
1
→− +0
x→−1
Так как пределы конечны, но не равны между собой, то  = −1  – точка разрыва 1-го рода 
(типа «скачка»).  
lim (x) = lim(
2
1− ) =1,  
x→0−0
x→0
sin
lim
( ) = lim
x
f x
= 1, при этом также 
2
(0) = 1− x
= 1,  
x→0+0
x→0
x
x=0
и,  так  как  lim (x) = lim (x) = (0) ,  то  в  точке  = 0   функция  непрерывна  по 
x→0+0
x→0−0
определению.  
 
Ответ: функция непрерывна при всех  ≠ 1
− . В точке  = 1
−  – разрыв 1-го рода 
(скачок). График – рис. 9.  
     
 
 
Рис. 9  
 
*) Очевидно, сама (x)  не является элементарной – см. учебник.  

Типичные  ошибки  и  недочеты.  Большинство  студентов,  выполняющих 
контрольную  работу  № 2,  в  целом  справляется  с  задачами  № 12–14  (хотя  грамотные  и 
толковые  объяснения  случаются  нечасто).  Встречающиеся  недочеты – неграмотность 
записей  (теряется  знак lim , переносится  недопустимым  образом – на  другую  строку – 
черта дроби, знак корня, запись функции после того же  « lim »  и т.п.).  
В № 15 далеко не всегда дается ссылка на 2-й замечательный предел – число  .  
В  № 16  почти  ни  один  человек  не  считает  нужным  объяснить,  что  такое 
«эквивалентность» и на чем основано ее использование (при том, что решение квадратных 
уравнений – дискриминант,  теорема  Виета – жизнерадостно  объясняются  на  целой 
странице).  
Наиболее  трудными  оказываются  две  последние  задачи,  где  понимание  понятия 
непрерывности требует известного усилия (и, разумеется, обращения к учебнику). Многие 
думают  (если  вообще  думают),  что  предложения  «функция  непрерывна  в  точке»  и 
«функция определена в точке» означают одно и то же, между тем как это верно лишь для 
класса  элементарных  функций – соответствующая  «разъясняющая»  задача 18  решается 
абсолютно  формально,  при  этом,  наряду  с  полным  непониманием  содержательной 
стороны,  выявляется,  называя  вещи  своими  именами,  вопиющее  невежество  и 
безграмотность в построении графиков – даже прямой и параболы.  
В  целом,  остаются  в  силе  и  здесь  замечания 5  и 6, сделанные  по  поводу 
контрольной работы № 1.  
 
 


Похожие:

Решение.  а  Функция  определена  при  всех   iconОшибка! Закладка не определена.    Примерные вопросы к экзамену   
Цели и задачи дисциплины   Ошибка! Закладка не определена. 
Решение.  а  Функция  определена  при  всех   iconРешение  отозвано.  При  этом  ему  запрещают  предпринимать  что
Журналист,  работающий  за  рубежом,  получает  предложение  о  высокой должности в Москве, а вскоре и решение о назначении на 
Решение.  а  Функция  определена  при  всех   iconПрограмма гражданско-патриотического воспитания подрастающего поколения района южное бутово 2004 2006гг
Межведомственная окружная программа «Дети Юго-Запада Москвы начала XXI века» определена как базовый документ при разработке плана...
Решение.  а  Функция  определена  при  всех   iconЭлективный курс по математике в 8 классе по теме "Квадратный трехчлен. Квадратичная функция"
Элективный курс предназначен для тех, кто не любит действовать по указке. При изучении школьного курса алгебры очень много времени...
Решение.  а  Функция  определена  при  всех   icon  Изучаем природу   Ошибка! Закладка не определена
Изучаем природу   Ошибка! Закладка не определена. 
Решение.  а  Функция  определена  при  всех   icon                                     Рыбинская государственная авиационная 
Предисловие  ошибка! Закладка НЕ определена. 
Решение.  а  Функция  определена  при  всех   iconРешение статической краевой задачи для полупространства. При этом получены форму

Решение.  а  Функция  определена  при  всех   iconРешение перевести и издать в России книгу Майкла Шапиро созрело в издательстве не 
В  данной  книге  попытку  составить  рейтинг  ста  великих  евреев  всех  времен 
Решение.  а  Функция  определена  при  всех   iconОбразовательная  функция  публичной  библиотеки  реализуется  в  воз

Решение.  а  Функция  определена  при  всех   iconПрограмма участия европейского гуманитарного университета в Неделе дизайна (Вильнюс, 7-14 мая 2011) при информационной поддержке егу, бсд и Дизайнерского форума Литвы
Сша является одним из критериев престижа дизайн-школы – ее сотрудничество с промышленностью и  корпорациями. Как  влияет на это сегодняшнее...
Разместите кнопку на своём сайте:
TopReferat


База данных защищена авторским правом ©topreferat.znate.ru 2012
обратиться к администрации
ТопРеферат
Главная страница