Урок геометрии в 8 классе Тема урока: Теорема Пифагора. Решение задач




Скачать 97.53 Kb.
НазваниеУрок геометрии в 8 классе Тема урока: Теорема Пифагора. Решение задач
Дата конвертации12.10.2012
Размер97.53 Kb.
ТипУрок

Урок геометрии в 8 классе

Тема урока: Теорема Пифагора. Решение задач.

Цели:

1) расширить ранее изученные сведения о теореме Пифагора;

  1. развивать самостоятельность, творчество учащихся;

  2. формировать умения применять математические
    знания к решению практических задач;

4) создание ситуации успеха.

Домой ребятам было дано творческое задание : узнать больше о теореме Пифагора из истории , используя разные источники, кроме учебника. Сделать подбор интересных задач, составить свои задачи на применение теоремы Пифагора.

Ход урока.

Пребудет вечной истина, как скоро

Все познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в его далекий век.

Учитель: Мы продолжаем знакомиться с одной из самых древних и важных наук - геометрией. На предыдущем уроке мы с вами рассмотрели теорему Пифагора - одну из главных и можно сказать самых главных теорем геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: с2 = а2 + в2.

Зато это соотношение между соответствующими площадями геометрических фигур становится очевидным из построения на рисунках (приложение 4а). На них мы видим два различных разбиения одного и того же квадрата со стороной а + в. На первом из них квадрат С2 слагается из квадрата со стороной с и четырех равных между собой треугольников. На втором такой же квадрат слагается из квадратов со стороной а и в и таких же четырех треугольников. Исключив на обоих рисунках треугольники, видим, что с222. В этом состоит самый лучший математический стиль: посредством остроумного построения сделать неочевидное очевидным.

Ученик: из истории математики известно, что доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum - ослиный мост, или elefuga - бегство "убогих", так как некоторые "убогие" ученики , не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому "ослами" , были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также "ветряной мельницей", составляли стихи вроде "Пифагоровы штаны на все стороны равны", рисовали карикатуры ( приложение 46 ).

Ученик: Дополнительные сведения о теореме Пифагора как одном из величайших творений ума человеческого.

Во времена Пифагора формулировка теоремы звучала так: "Доказать, что квадрат построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах" или "Площадь квадрата построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов построенных на его катетах."

Ученик: Теорема Пифагора имеет богатую историю. Оказывается, она задолго до Пифагора была известна египтянам, вавилонянам, китайцам и индейцам. За восемь веков до нашей эры эта теорема была хорошо известна индейцам под названием "правила веревки" и использовалась ими для построения алтарей, которые по священному предписанию должна иметь строгую геометрическую форму, ориентированную относительно четырех сторон горизонта.

В настоящее время имеется свыше ста различных доказательств теоремы Пифагора. Возможно, что одно из них принадлежит Пифагору или его ученику.

Ученик: Я докажу теорему другим способом по учебнику Л.С.Атанасяна.

Ученик: В литературе существуют интересные факты о применении теоремы и об отыскании так называемых "квадратных чисел". Если стороны треугольника пропорциональны числам 3; 4; 5, то этот треугольник прямоугольный. Этот факт использовали для построения на местности прямых углов ведь оптических измерительных приборов не было, а для строительства домов, дворцов и тем более гигантских пирамид это надо. На веревке на равном расстоянии друг от друга завязали узлы. Например, в точке С надо было построить угол, забивали колышек, веревку натягивали в нужном строителям направлении, забивали второй колышек в точке В (СВ = 4) и натягивали веревку так, чтобы АС = 3; АВ = 5. Такой треугольник называют египетским. Безопасность такого построения следует из обратной теоремы: если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третей стороны, то такой

треугольник является прямоугольным. И действительно, 32 + 42 = 52 , т. е. числа 3; 4; 5 - корни уравнения х2 + у2 = z2.

Учитель: Нет ли у этого уравнения еще целочисленных решений? Такие вопросы волновали мудрецов Вавилона. Знал это и Пифагор. Один из способов нахождения этих решений. Запишем "квадратные числа", отделив их запятой, а под каждой запятой разность между последовательными квадратами.

Получим 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,... 3,5,7,9,11,13,15.17,19. 21,23,25,27.

В нижней строке есть квадратные числа 9 = З2, 25 = 52, им соответствуют 16 = 42, 25 = 52, 144 = 122, 169 = 132. Получаем тройку чисел 5, 12, 13, а далее находим еще одну тройку чисел 72 + 242 252 и т. д.

Можно сформулировать теорему:

Каждое нечетное число есть разность двух последовательных квадратов.


x2-1 z2+1

Если х - нечетное, то у = 2 и z= 2
Составлять такие тройки можно по упрощенным формулам, которые известны 2,5 тыс. лет назад.


В этом случае х2 + у2 = z2 - выполняется. Это уравнение называется "уравнение Пифагора", а тройки чисел - "пифагоровы тройки". Отыщите "тройки" чисел. Проверьте! Ученики быстро отыскивают пифагоровы тройки 3; 4; 5 5; 12; 13 7; 24; 25 и т.д. Остается открытым вопрос, а если х - четно, то как найти у и z. Попробуйте отыскать ответ на этот вопрос в источниках или выведите сами к следующему уроку.

Учитель: Проведем разминку перед решением задач 1 )Сколько треугольников изображено на рисунке ?

2)Является ли треугольник прямоугольным, если его стороны

выражены числами 6:8: 10 или 5:6:7?

3)Постройте прямоугольный треугольник со сторонами 2 , 3 и 5 см.

(это отрезок)

4)Диагонали ромба 24см и 10см. Найти сторону ромба.

5)Высота проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника,

равна одной из двух других его высот. Определите острые углы

треугольника, (невозможно)

6)Составьте по рисунку верное равенство, используя теорему Пифагора

X

4

а)

4

Вычислите, чему равна гипотенуза.

X
5

3

б) В данном случае использовать теорему Пифагора нельзя, т.к. неизвестно о каком треугольнике идет речь, а значит утверждать, что треугольник прямоугольный нельзя.

1

2

в)

3

Такого треугольника не существует.

Учитель: Ребята, на что надо обратить особое внимание при

применении теоремы Пифагора?

Ученик: Чтобы использовать теорему Пифагора, надо убедиться, что

треугольник прямоугольный.

Учитель: Решим две старинные задачи, в которых будет "работать"

теорема Пифагора.

Задача 1. Она взята из первого учебника математики на руси. Назывался этот учебник "Арифметика" - Кто знает автора первого учебника? (Леонтий Филиппович Магнитский)

-Однако настоящая его фамилия -Телятин, а Магнитским он стал по приказу Петра 1, который был восхищен его знаниями, притягивавшими к себе всех любознательных подобно магниту. Читаю так задачу, как она была записана в ре времена:

Случится некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же та высота есть 117 стоп. И обретя лестницу долготою 125. И

ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстоять иметь, (приложение 4)

Ребята решают: х2 = 1252 -1172 = 8 ? 242 = 4 ? 2 ? 2 ? 121

Х = 44

Задача 2. Часто математики записывали свои задачи в стихотворной форме. Вот одна из задач индийского математика двенадцатого века Бхаскары:

На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С течением реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота? (приложение 4)

( 1 фут == 12 дюймов = 0,3048 м - 30,48 см ) Ученик. Я составил задачу сам.

От пристани одновременно отплыли два парохода: один на юг со скоростью 16 морских миль в час, а другой на запад со скоростью 12 морских миль в час. Какое расстояние будет между пароходами через 2,5 часа ( 1 морская миля = 1,85 км. ).

Ответ: 50 морских миль = 92,5 км. Ученик. Задача:

Лестница длинной 13 м. Приставлена к стене так, что расстояние нижнего конца лестницы от стены равно 5м. На какой высоте от земли упирается верхний конец лестницы.

По известным "пифагоровым тройкам" были составлены еще ряд задач.

Учитель: Рассмотрим несколько задач другого типа с

использованием теоремы Пифагора.

Задача: Катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы на 8 см . Другой катет равен 20 см. Найти периметр треугольника.

Задача решается с помощью составления уравнения: (х+8)22 +202

х = 21 Р = 20 + 21 +29 = 70 см

Ответ: 70 см

Задача: Катет прямоугольного треугольника больше другого катета на 10 см и меньше гипотенузы на 10 см. Найти стороны этого треугольника. Ответ: 30; 40; 50

Задача: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а один из катетов составляет 75% от другого. Найти катеты. Ответ: 6; 8

Задача: В равнобедренной трапеции основания 10 см и 40 см. боковая сторона 25 см. Найти высоту. Ответ: 20 см

Самостоятельная работа по карточкам.

Домашнее задание: Поискать интересные задачи, где можно применить при решении теорему Пифагора или составить самим. Попытаться найти ответ на вопрос: Какая существует закономерность при нахождении "пифагоровых троек " , если х четно. Выполнить из учебника №28, №30.

По данному уроку видно как дети проявили свою активность и творчество при подготовке и проведении урока.

Похожие:

Урок геометрии в 8 классе Тема урока: Теорема Пифагора. Решение задач iconРазработка урока по геометрии по теме: "Теорема Пифагора"
Образовательная цель: изучить теорему Пифагора; рассмотреть решение задач с использованием этой теоремы
Урок геометрии в 8 классе Тема урока: Теорема Пифагора. Решение задач iconУрок конференция тема: “Теорема Пифагора” как одно из величайших творений ума человечества
Задачи: расширить кругозор учащихся, совершив экскурс в историю математики; развивать творческие способности, уметь применить знание...
Урок геометрии в 8 классе Тема урока: Теорема Пифагора. Решение задач iconУрок геометрии в 9 классе. Тип урока: онз. Тема: «Теорема синусов»
Повторить и закрепить: вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними, вычисление площади параллелограмма, пропорция,...
Урок геометрии в 8 классе Тема урока: Теорема Пифагора. Решение задач iconТема Решение задач на применение признаков равенства треугольников
Лучше разглядим ее красоту и совершенство. Девизом нашего урока будет: «С любовью к ее величеству- науке геометрии». Пройдемся по...
Урок геометрии в 8 классе Тема урока: Теорема Пифагора. Решение задач iconУрок: геометрия + информатика по теме: "Пифагор и его знаменитая теорема"
Решение задач по готовым чертежам с целью подготовки учащихся к восприятию нового материала
Урок геометрии в 8 классе Тема урока: Теорема Пифагора. Решение задач iconТематическое планирование по геометрии в 10 классе
Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий. Самостоятельная работа
Урок геометрии в 8 классе Тема урока: Теорема Пифагора. Решение задач iconУрок чтения в 4 классе. Тема урока
Тема урока. «Сказка – ложь, да в ней намек; добрым молодцам урок». (Обобщающий урок)
Урок геометрии в 8 классе Тема урока: Теорема Пифагора. Решение задач iconУчебник: геометрия  7-9 класс. Год издания: 2001-2005 Москва «Просвещение»
Треугольник. Теорема Фалеса. Подобие треугольников. Коэффициент подобия. Признаки подобия треугольников. Теорема Пифагора. 
Урок геометрии в 8 классе Тема урока: Теорема Пифагора. Решение задач iconКонспект урока по математике в 1 м классе Тема: «Закрепление. Решение задач разных видов»
Задачи: решать задачи разных видов; формировать вычислительный навык; развивать умение работать в парах; учить ориентироваться в...
Урок геометрии в 8 классе Тема урока: Теорема Пифагора. Решение задач iconПланирование изучения курса алгебры в 7 классе 3 урока в неделю
Решение задач с помощью уравнений, с использованием национального компонента п. 9
Разместите кнопку на своём сайте:
TopReferat


База данных защищена авторским правом ©topreferat.znate.ru 2012
обратиться к администрации
ТопРеферат
Главная страница