Лекция для учеников 8 «А» класса. Учитель математики: Ермеев Валерий Александрович




Скачать 38.09 Kb.
НазваниеЛекция для учеников 8 «А» класса. Учитель математики: Ермеев Валерий Александрович
Дата конвертации12.11.2012
Размер38.09 Kb.
ТипЛекция
Метод математической индукции.

Лекция для учеников 8 «А» класса.

Учитель математики: Ермеев Валерий Александрович.

Цели лекции: 1) ознакомить учащихся 8 «А» класса методом математической индукции;

2) выработать навыки и умения применять данный метод при решении задач на доказательства равенств, на делимость, на доказательства неравенств, на суммирование.

Одним из самих универсальных методов доказательств математических утверждений, в которых фигурируют слова «для произвольного натурального n» является метод математической индукции.

Доказательство при помощи этого метода состоит из трех этапов:

начало индукции,

индуктивное допущение и

индуктивный шаг.

В простейшем варианте это выглядит следующим образом.

1) Начало индукции. Доказывается (проверяется), что сформулированное утверждение выполняется при n = 1.

2) Индуктивное допущение. Предполагается, что утверждение справедливо при n = k.

3) Индуктивный шаг. Доказывается, что при условии справедливости утверждения при

n = k следует его справедливость при n = k + 1.

Метод математической индукции можно применять только для доказательства утверждений, зависящих от натурального n. В основном он применяется для решения задач двух видов:

1) исходя из частных наблюдений устанавливают некоторую закономерность и затем доказывают её справедливость методом математической индукции;

2) доказывают справедливость некоторой формулы методом математической индукции.
Применение метода математической индукции в задачах на доказательства равенств.
Пример 1. Доказать, что при любом натуральном n верно равенство:



Доказательство. 1) Начало индукции. Проверяем утверждение при n = 1



Неравенство выполняется.

2) Индуктивное допущение. Предположим, что равенство верно при n = k, т. е.

3) Индуктивный шаг. Докажем утверждение при n = k +1:



Таким образом, что доказываемое утверждение справедливо при n = k + 1. По методу математической индукции получаем, что утверждение справедливо при любом


Применение метода математической индукции в задачах на делимость.
Пример 2. Доказать, что при любом натуральном n значение выражения n 3 + 11n делится на 6.

Доказательство. 1) Начало индукции. Проверим утверждение при n = 1.

1 3 + 11∙ 1 = 12

Так как 12 : 6 = 2, то утверждение справедливо при n = 1.

2) Индуктивное допущение. Предположим, что утверждение справедливо при n = k, т. е. выражение k 3 + 11k делится на 6.

3) Индуктивный шаг. Докажем, что утверждение выполняется при

n = k +1.

(k+1) 3 + 11(k+1) = k 3 + 3k 2 + 3k + 1 + 11k + 11 = (k 3 + 11k) + 3k(k + 1) + 12.

Первое слагаемое делится на 6. При любом натуральном k одно из чисел к ним k + 1 является чётным, поэтому второе слагаемое делится на 6. Третье слагаемое делится на 6.

По методу математической индукции получаем, что утверждение справедливо при любом

Применение метода математической индукции в задачах на доказательства неравенств.
Пример 3. Доказать, что при любом натуральном n ≥ 3 выполняется неравенства

3 n > 2 n + 3n.
Доказательство. 1) Начало индукции. Проверим утверждение при n = 3: 3 3 > 2 3 + 3∙3 – выполняется.

2) Индуктивное допущение. Предположим, что утверждение справедливо при n = k, т. е.3 k > 2 k + 3k

. 3) Индуктивный шаг. Докажем, что утверждение выполняется при

n = k +1. Для этого обе части неравенства 3 k > 2 k + 3k умножим на 3. Получаем:

3 л + 1 > 3 ∙ 2 k + 9k = (2 + 1) 2 k + 3(k + 1) + 6k – 3 = 2 ∙ 2 k + 3(k + 1) + 2 k + 3(2k – 1) > 2 k + 1 + + 3(k + 1).

Таким образом, что доказываемое утверждение справедливо при n = k + 1. По методу математической индукции получаем, что утверждение справедливо при любом натуральном n ≥ 3.
Применение метода математической индукции в задачах на суммирование.
Пример 4. Вычислить сумму первых n нечетных чисел натурального ряда.

Решение. S(1) = 1, S(2) = 1 + 3 = 4, S(3) = 1 + 3 + 5 = 9, S(4) = 1 + 3 + 5 + 7 = 16, S(5) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25. Замечаем, что сумма первых n нечетных чисел натурального ряда равна n2, т.е. S(n) = n2.

Докажем это.

1) Для n = 1 формула верна.

2) Предположим, что она верна для какого-либо натурального n = k, т.е. S(k) =k2.

Докажем, что тогда она будет верна и для n = k +1, т.е. S(k+1) = (k + 1)2:S(k + 1) = 1 + 3 + 5 +…+(2k – 1) + (2k + 1) = S(k) + (2k + 1) = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2.

Следовательно, формула верна для всех натуральных значений n, т.е. S(n) = n2.
Задачи для самостоятельного решения.

1) Докажите, что для любого натурального n справедливы равенства:







2) Докажите, что при любых натуральных n:

а) n (n 2 – 1) (n 2 – 5n + 26) делится на 120;

б) 2 5n+ 1 + 5 n + 2 делится на 27;

в) 2 3n + 3 – 7n + 41 делится на 49.

3) Докажите, что для любого натурального n справедливы неравенства:

а) 4 n > n 2;

б) 2 n > n 2 – 2n + 2.

4) Найдите сумму:

а) 1 ∙ 1! + 2 ∙ 2! +3 ∙ 3! + … + n ∙ n!;

б)

Используемая литература:

1) Петраков И. С. Математические кружки в 8 – 10 классах: Кн. для учителя.- М.: Просвещение, 1987.-224 с.

2) Галицкий М. Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением курса математики. М.: Просвещение, 1992.

3) Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк.- М.: Просвещение, 1989.-252с.

Похожие:

Лекция для учеников 8 «А» класса. Учитель математики: Ермеев Валерий Александрович iconВнеклассное мероприятие для 5-6 класса. Мама – моя любовь! Автор: Терешина Ю. В., учитель математики
Сегодня мы будем говорить с вами о самом близком, о самом добром человеке… Кто это?
Лекция для учеников 8 «А» класса. Учитель математики: Ермеев Валерий Александрович iconУрд, каникулыi весёпая rапактика Валерий прокопов
«Весёпая rапактика Валерий прокопов, Зайцевой. Разнообразные мероприятия: эко- учитель моу «3икеевская сош»
Лекция для учеников 8 «А» класса. Учитель математики: Ермеев Валерий Александрович iconОбщественно-политическая газета        
Мозговой  штурм. Главный  конструктор  по дизелестроению  Валерий  Александрович  Рыжов  (второй  справа)  и  его  замы 
Лекция для учеников 8 «А» класса. Учитель математики: Ермеев Валерий Александрович iconЗаседание №5 (март) Тема «Подготовка к государственной (итоговой) аттестации выпускников»
Участие в работе мастер-класса для учителей математики "Технологические ресурсы современного урока математики, обеспечивающие освоение...
Лекция для учеников 8 «А» класса. Учитель математики: Ермеев Валерий Александрович iconМетодические рекомендации Савельева Ирина Васильевна, учитель математики второй квалификационной категории
Методические рекомендации предназначены для учителей математики, работающих в 5-6 классах
Лекция для учеников 8 «А» класса. Учитель математики: Ермеев Валерий Александрович icon5 занятие занимательной математики. План занятия
В классе 20 учеников. Они встали в четыре ряда и в каждом ряду ока­залось 6 учеников. Как это могло быть? ( ученики встали квадратом,...
Лекция для учеников 8 «А» класса. Учитель математики: Ермеев Валерий Александрович iconВнеклассное мероприятие (литературная викторина) для учащихся 2 класса
Учитель: Трубинова Лариса Геннадьевна, учитель начальных классов I первой квалификационной категории
Лекция для учеников 8 «А» класса. Учитель математики: Ермеев Валерий Александрович iconПрограмма по алгебре для 7 класса с углубленным изучением математики
Основная задача обучения математики в школе заключается в раз- витии у школьников умения четко излагать собственные мысли, основы-...
Лекция для учеников 8 «А» класса. Учитель математики: Ермеев Валерий Александрович iconУроках математики
Волкова Оксана Викториновна, учитель математики моу «Средняя общеобразовательная школа №45» г. Калуги
Лекция для учеников 8 «А» класса. Учитель математики: Ермеев Валерий Александрович iconУрок математики во 2 классе по теме «Метр»
Автор: Анянова Галина Александровна, учитель математики и физики, заместитель директора по увр
Разместите кнопку на своём сайте:
TopReferat


База данных защищена авторским правом ©topreferat.znate.ru 2012
обратиться к администрации
ТопРеферат
Главная страница