Литература 185




PDF просмотр
НазваниеЛитература 185
страница14/58
Дата конвертации19.11.2012
Размер0.61 Mb.
ТипЛитература
1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   58

џ2. Дифференцирование
39
x2
T
E2
E
s
1
Ex1
E3
Рис. 1
Из формулы (8) непосредственно следует, что если функ-
ция f дифференцируема в точке x, то она дифференцируема
и по Гато, причем
f (x, y) = ? (0) =
f (x), y .
Обратное, вообще говоря, неверно.
Пример 5. Пусть n = 2. На плоскости R2 обозначим че-
рез E1  действительную прямую x2 = 0, через E2  множество
точек, удовлетворяющих условию x2 ? (x1)2, а через E3  мно-
жество точек, удовлетворяющих условию x2 ? ?(x1)2. Далее,
положим
E = E1 ? E2 ? E3
и рассмотрим функцию f : R2 ? R вида
1, x ? E,
f (x) =
(9)
0,
x /
? E
(см. рис. 1).

40
Гл. 1. Основы многомерного анализа
Легко видеть, что функция f, задаваемая равенством (9),
дифференцируема по Гато в начале координат. При этом, од-
нако, в точке x = 0 данная функция имеет разрыв и, следова-
тельно, не дифференцируема (см. теорему 8).
Замечание. Необходимо отметить, что во многих случа-
ях вместо термина дифференцируемость используется тер-
мин дифференцируемость по Фреше. Это делается для того,
чтобы более четко подчеркнуть отличие дифференцируемости
по Гато от дифференцируемости.
Приведем два примера, отражающие достаточно важные
свойства дифференцируемых числовых функций.
Пример 6. Если числовая функция f дифференцируема
на отрезке [x, x+y], то в силу формулы (8) и формулы Ньютона
 Лейбница
1
?(1) = ?(0) +
? (? ) d?
(10)
0
легко получаем представление остаточного члена в равенстве
(2) в интегральной форме.
В самом деле, согласно равенствам (8) и (10) имеем
1
f (x + y) = f (x) +
f (x + ? y), y d? =
0
1
= f (x) +
f (x), y +
f (x + ? y) ?
f (x), y d?.
(11)
0
Отсюда в силу равенства (2) получим
1
o(y) =
f (x + ? y) ?
f (x), y d?.
0
Пример 7. Для дифференцируемых числовых функций
имеет место теорема о среднем
f (x + y) = f (x) +
f (x + ?y), y ,

џ2. Дифференцирование
41
где ?  некоторое действительное число, удовлетворяющее
условию 0 ? ? ? 1. Чтобы убедиться в этом, достаточно вос-
пользоваться формулой (8) и формулой конечных приращений
?(1) = ?(0) + ? (?),
в которой 0 ? ? ? 1.
Дифференцирование векторных функций. Дейст-
вуя по аналогии с дифференцированием числовых функ-
ций, можем ввести понятие дифференцируемости и векторных
функций.
Векторная функция g : Rn ? Rm называется дифференци-
руемой в точке x ? Rn, если найдется такая действительная
матрица A размерности m Ч n, что для всех ?x ? Rn имеет
место равенство
g(x + ?x) = g(x) + A?x + R(?x),
(12)
в котором R: Rn ? Rm  векторная функция, удовлетворяю-
щая условию
|R(?x)|
lim
= 0.
|?x|?0
|?x|
Матрица A называется производной или матрицей Якоби
отображения g. Как и в случае производной отображения чи-
словой функции обозначать матрицу Якоби будем либо g (x),
либо g(x).
Функция g : Rn ? Rm называется дифференцируемой на
множестве Q ? Rn, если она дифференцируема во всех точках
Q. Если же функция g дифференцируема во всем простран-
стве Rn, то будем говорить просто, что функция g дифферен-
цируема.
Действуя по аналогии с формулами (1) и (2), перепишем
равенство (12) в следующем виде:
g(x + ?x) = g(x) + g (x)?x + o(?x).
(13)
Равенство (13) означает, что векторная функция g, дифферен-
цируемая в точке x, допускает в этой точке линейную аппрок-
симацию. При этом, как легко видеть, для дифференцируемой
функции
g(x) = (g1(x), . . . , gm(x))

42
Гл. 1. Основы многомерного анализа
элементы матрицы Якоби определяются равенством
?gi(x)
g ij(x) =
,
i = 1, . . . , m,
j = 1, . . . , n.
?xj
Приведем два примера, иллюстрирующие свойства диф-
ференцируемых векторных функций.
Пример 8. Пусть g : Rn ? Rm  функция, дифференци-
руемая в точке x, и пусть h: Rm ? Rs  функция, дифферен-
цируемая в точке g(x). Тогда, как легко видеть, справедли-
во следующее цепное правило дифференцирования сложных
функций:
[h(g(x))] = h (g(x))g (x).
Пример 9. Теорема о среднем для векторных функций,
вообще говоря, неверна: в общем случае не существует такого
действительного числа ?, удовлетворяющего условию 0 ? ? ?
1, что
g(x + y) = g(x) + g (x + ?y)y
для некоторой дифференцируемой на отрезке [x, x+y] вектор-
ной функции g : Rn ? Rm. При этом, однако, для дифферен-
цируемой на отрезке [x, x + y] функции g : Rn ? Rm справед-
лива следующая формула, аналогичная формуле (11):
1
g(x + y) = g(x) +
g (x + ? y)y d? =
0
1
= g(x) + g (x)y +
(g (x + ? y) ? g (x))y d?.
0
Более того, несложно заметить, что найдутся такие действи-
тельные числа ?1, . . . ?m, для которых выполнено равенство
n
gi(x + y) = gi(x) +
g ij(x + ?iy)yj, i = 1, . . . , m.
(14)
j=1
При этом именно равенство (14), очевидно, представляет собой
аналог теоремы о среднем для дифференцируемых векторных
функций.
1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   58

Похожие:

Литература 185 icon№19 (185) общественно-политическая городская газета
Большинством голосов участников Публичных слушаний одобрен проект Генерального плана 
Литература 185 iconКласс: 12 Зачёт №2 «Русская литература 1917-1941»
Советская литература и социалистический реализм (Первый съезд советских писателей, создание теории социалистического реализма). Три...
Литература 185 iconДоклад   муниципального   дошкольного   образовательного   учреждения   детского   сада   общераз вивающего   вида     №  185 «Зоренька»
Муниципальное  дошкольное образовательное учреждение детский сад общеразвивающего 
Литература 185 iconЛитература древнерусская литература
Русская литература родилась в первой половине XI в в среде господствующего класса. В древней Руси ведущую роль в литературном процессе...
Литература 185 iconУчебники и учебные пособия по информатике для школы Контрольные вопросы и задания 185 Коротко о самом важном -186
Техника безопасности при проведении занятий в кабинете вычислительной техники 174
Литература 185 iconАннотация основной образовательной программы
Наименование: 032700 Филология. Магистерская программа «Иностранные языки и литература» (английский язык и литература, немецкий язык...
Литература 185 icon252 XV ежегодная богословская конференция 2005 г. При последних словах песенки большим пальцем руки щекочут ребенка. Игра
Цит по: Jose Manuel Fraile Gil. La poesia infantil en la tradicion madrilena. Madrid, 1994. P. 185
Литература 185 iconПрограмма курса 
Русский язык и литература», «Филоло- гия. Русский язык и литература. Бурятский язык и литература», «Журнали- стика»  и  студентов 2-го  курса  заочного  отделения  специальности  «Фило-...
Литература 185 iconЛитература литература •  Серия «Домашняя медицинская  энциклопедия. Здоровье от А до Я»
Серия «Европейский best  Духовная литература. Эзотерика 32 Современная проза» 
Литература 185 icon  в   жж-ки нашёл такую подборку инет-библиотек
Альдебаран-крупнейшая электронная библиотека on-line- художественная, учебная и техническая литература и книги различных жанров:...
Разместите кнопку на своём сайте:
TopReferat


База данных защищена авторским правом ©topreferat.znate.ru 2012
обратиться к администрации
ТопРеферат
Главная страница