Литература 185




PDF просмотр
НазваниеЛитература 185
страница58/58
Дата конвертации19.11.2012
Размер0.61 Mb.
ТипЛитература
1   ...   50   51   52   53   54   55   56   57   58

178
Гл. 3. Основы оптимального упраления
Умножив обе части равенства (25) на G(t) слева, получим
??(t) = ?(t)v(t),
откуда следует, что решение системы (24) с начальным усло-
вием (12) имеет вид
?
?
t
x(t) = ? (t) ?x
?
0 +
?(? )v(? ) d?
.
(26)
t0
Заметим теперь, что по аналогии с (26) решение системы
??x = A?x + v(t)
с начальным условием
?
x(t0) = x0
имеет вид
?
?
t
?
x(t) = ? (t) ?x
?
0 +
?(? )?
v(? ) d?
.
t0
Но так как по условию предложения 5
x(t1) = ?x(t1)
отсюда получаем, что
t1
t1
?(t)v(t) dt =
?(t)?
v(t) dt.
(27)
t0
t0
Умножим скалярно обе части равенства (27) на постоян-
ный вектор ?0. Тогда, принимая во внимание тот факт, что
каждое решение ?(t) системы (16) с начальным условием
?(t0) = ?0
имеет вид
?(t) = ?0?(t),
получим
t1
[ ?(t), v(t) ? ?(t), ?
v(t) ] dt = 0.
(28)
t0

џ5. Линейные оптимальные быстродействия
179
Поскольку по предположению u  подозрительное управ-
ление, оно максимизирует функцию (18) при ограничении (19).
Поэтому возьмем в качестве ?(t) векторную функцию, сопря-
женную к траектории x(t), задаваемой равенством (26); в этом
случае
?
H(x(t), ?(t), u(t)) = ?(t), Ax(t) + Bu(t) = ?
H(x(t), ?(t)),
где
?
H(x, ?) = max ?, Ax + Bu .
u?U
Заметим теперь, что подинтегральное выражение в (28)
может быть записано в виде
?
H(x(t), ?(t), u(t)) ? ?
H(x(t), ?(t), ?
u(t)),
(29)
причем по построению
?
H(x(t), ?(t), u(t)) ? ?
H(x(t), ?(t), ?
u(t)) ? 0.
Следовательно, равенство (22) выполняется почти всюду на
[t0, t1]. При этом на множестве значений времени t, для кото-
рого разность (29) обращается в нуль, а
u(t) = ?
u(t),
максимум в (18) при ограничении (19) достигается не в одной
точке. Более того, для этих значений t справедливо равенство
(20). Последнее, однако, возможно только лишь для конечного
множества значений t.
Теперь в задаче о линейных оптимальных быстродействи-
ях оказывается возможным очертить ситуацию, когда доста-
точно усердные поиски черной кошки в темной комнате могут
привести успеху.
Теорема 3. Пусть u  подозритаельное управление, пе-
реводящее систему (11) из точки (12) в точку (17). Тогда u
 оптимальное управление, причем единственное.
Доказательство. Прежде всего, заметим, что в форму-
лировке теоремы 3 отождествляются все управления, отлича-
ющиеся лишь на некотором конечном множестве значений вре-
мени t.

180
Гл. 3. Основы оптимального упраления
Пусть ?u  произвольное управление, определенное на от-
резке [t0, t2], которое переводит систему (11) из точки (12) в
точку
x(t2) = 0.
Предположим, что t2 ? t1, т.е. что управление ?u переводит
систему (11) в начало координат не медленнее, чем управле-
ние u. Продолжим, если потребуется, управление ?u на отрезок
[t0, t1], положив
?
u(t) = 0
при t2 ? t ? t1; последнее действие вполне корректно, по-
скольку множество U по условию содержит начало координат
пространства Rm. Тогда согласно предложению 5 данное про-
должение при всех значениях t0 ? t ? t1 (за исключением,
может быть, некоторого конечного множества) удовлетворяет
условию (22).
Замечание. Теорема 3 дает одно из простейших усло-
вий существования минимума, которое одновременно является
и условием его единственности. Здесь невольно вспоминается
умилительная ситуация, когда некая старушка неуверенными
шаркающими шагами спускается в темный подвал, пытаясь
найти своего ненаглядного угольного-черного Пушка. Если в
подвале еще осталась сметана, весьма возможно, что Пушок
окажется единственным его обитателем, ибо, как поется в из-
вестной песенке, уже в те стародавние времена ... кота нена-
видел весь дом.1
Если же подходить к обсуждению этого вопроса более
формально, то о силе теоремы 3 достаточно красноречиво го-
ворит весь џ4, особенно упражнение 1 (см. также приводимое
ниже упражнение 2).
Упражнения.
(1) Предположим, что многогранник U задается системой
неравенств
|ui| ? 1,
i = 1, . . . , m.
1За исключением, разумеется, старушки!

џ5. Линейные оптимальные быстродействия
181
Рассматрите задачу об оптимальном быстродействии, за-
ключающуюся в переводе системы
?x = f (x) + G(x)u
из точки (12) в точку (17); здесь f = (f1, . . . , fn)  некото-
рая векторная, а G  действительная (n Ч m)-матричная
функции, причем и f, и G, считаются определенными и
непрерывно дифференцируемыми в пространстве Rn.
(2) Предположим, что в задаче о линейных оптимальных бы-
стродействиях все собственые значения матрицы A имеют
неотрицательные действительные части. Покажите, что в
этом случае для каждой точки x0 ? Rn оптимальное по
быстродействию управление существует.

Предметный указатель
Аппроксимация
выпуклая, 55
квадратичная, 50
выпуклая на множестве, 97
линейная, 35, 41
Глобальный
Базис в линейном программиро-
максимум, 55
вании, 120
минимум, 54, 98
Дифференциал, 36
Градиент, 35, 36
Дифференцируемость
Грань
по Фреше, 40
множества, 112
по Гато, 38
точная нижняя, 23
Двойственность в линейном про-
точная верхняя, 22
граммировании, 115
Каноническая форма задачи ли-
Экстремаль, 132
нейного программирования,
Фазовые координаты, 139
116
Фазовое пространство, 139
Канонические переменные, 149
Формула Тейлора
Касание порядка (k ? 1), 170
с остаточным членом в форме
Критерий
Лагранжа, 48
ковариантности, 168
с остаточным членом в форме
общего положения, 170
Пеано, 48
Линия переключения, 158, 165
Функционал, 129
Локальный
Функция
максимум, 51
Гамильтона, 149
минимум, 51, 62, 73
Гамильтона управляемая, 149
Матрица
Лагранжа, 64, 79, 100, 140
Гессе, 47
модифицированная, 142
Якоби, 41
расширенная, 62, 143
Метод
числовая, 35
Ньютона, 90, 91
дифференцируемая, 35, 37, 41
множителей Лагранжа, 64
непрерывная, 29
штрафных функций, 68, 93
равномерно непрерывная, 29
Минималь
управления, 148
слабая, 131
182

Предметный указатель
183
Минимум
Ребро, 173
функционала
Симплекс, 112
глобальный, 148
Симплекс-метод
слабый, 131
описание, 120
Множество
реализация, 123
допустимых управлений, 148
Система
допустимое, 147
Эйлера, 138
компактное, 27
Эйлера  Лагранжа, 140
многогранное, 112
гамильтонова, 149
ограниченное, 22
каноническая, 149
открытое, 19
сопряженная, 149
выпуклое, 96
Шар, 19
замкнутое, 19
Теорема
Неравенство
Больцано  Вейерштрасса, 23
Иенсена, 56
Ферма, 51
Коши  Буняковского, 17
Каруша  Джона, 73
треугольника, 17
Куна  Таккера, 99, 109
Норма матрицы, 43
Вейерштрасса, 33
Ограничение
двойственности, 104, 115
активное, 78, 101
о методе множителей Лагран-
неактивное, 78, 101
жа, 64, 146
типа неравенств, 72
о непрерывности и равномер-
типа равенств, 72
ной непрерывности, 30
Окрестность, 19
о седловой точке, 102
Парадокс Перрона, 134
об ограниченных множествах
Переменные
и последовательностях, 25
двойственные, 100
Точка
прямые, 100
допустимая, 62, 73, 100
Пересечение порядка k, 170
крайняя многогранного мно-
План
жества, 112
опорный, 120
максимума, 51
оптимальный, 120
минимума, 51, 62, 73
Подпространство
минимума невырожденная, 54
ковариантное, 168
минимума регулярная, 63, 101
непрерывно дифференцируе-
множества граничная, 97
мое, 167
предельная, 19
Последовательность
седловая, 102
ограниченная, 22
Траектория, 138, 148
сходящаяся, 22
оптимальная, 148
Принцип
Управление
максимума Понтрягина, 149
оптимальное, 148
обратной связи, 158
подозрительное, 176
Производная
Уравнение
Гато, 38
Эйлера, 132
по направлению, 38
Условие

184
Предметный указатель
Липшица, 43, 44
Слейтера, 98
глобального минимума, 57
регулярности первое, 80
регулярности второе, 81
трансверсальности, 150
Условия
дополняющей нежесткости, 78
регулярности, 80
Вариация, 38, 130
Мак-Шейна, 144
функционала, 131
игольчатая, 145
слабая, 130
Вектор
общего положения, 170
Вершина, 113
невырожденная, 120
Внутренность множества, 97
Задача
Дидоны, 10, 138
Лагранжа, 139
двойственная, 104, 115
изопериметрическая, 139
о быстродействии, 153
о брахистохроне, 130
о линейных оптимальных бы-
стродействиях, 173
оптимального управления
автономная, 153
со смешанными ограниче-
ниями, 152
в форме Л.С. Понтрягина,
147
прямая, 104
регулярная, 101
вариационного исчисления
общая, 143
простейшая, 129
Зигзаг
бесконечно мелкий, 135

Литература
[1] Абрамов Л.М., Капустин В.Ф. Математическое программирование.
 Л.: ЛГУ, 1976.
[2] Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управ-
ление.  М.: Наука, 1979.
[3] Александров П.С. Введение в теорию множеств и функций.  М.:
ОГИЗ  Гостехиздат, 1948.
[4] Аоки М. Введение в методы оптимизации.  М.: Hаука, 1977.
[5] Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по матема-
тическому анализу.  М.: Дрофа, 2003.
[6] Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление.  М.: Машинострое-
ние, 1968.
[7] Афанасьев А.П., Дикусар В.В., Милютин А.А., Чуканов С.В. Hе-
обходимое условие в оптимальном управлении.  М.: Наука, 1990.
[8] Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. 
М.: Наука, 1980.
[9] Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач.  М.: Наука,
1981.
[10] Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных
задач.  М.: МГУ, 1989.
[11] Зангвилл У. Нелинейное программирование. Единый подход.  М.:
Сов. радио, 1973.
[12] Зуховицкий С.И., Авдеева Л.И. Линейное и выпкулое программиро-
вание.  М.: Наука, 1969.
[13] Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач.  М.:
Наука, 1974
[14] Карманов В.Г. Математическое программирование.  М.: Наука,
1975.
[15] Полак Э. Численные методы оптимизации.  М.: Мир, 1974.
[16] Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию.  М.: Hаука, 1983.
[17] Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 
М.: Наука, 1965.
[18] Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко
С.В. Математическая теория оптимальных процессов.  М.: Физмат-
гиз, 1961.
185

186
Литература
[19] Пуанкаре А. Избранные научные труды.  Т. II.  М.: Наука, 1972.
[20] Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи.  М.:
Наука, 1980.
[21] Рокафеллар Р. Выпуклый анализ.  М.: Мир, 1973.
[22] Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы.  М.: Мир, 1973.
[23] Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управ-
ления.  М.: Наука, 1978.
[24] Хеммильблау Д. Прикладное нелинейное программирование.  М.:
Мир, 1975.
[25] Шварц Л. Анализ. Т. 1.  М.: Мир, 1972.
[26] Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции нескольких веще-
ственных переменных. Ч. 1, 2.  М.: Наука, 1972.
[27] Юдин Д.Б., Гольдштейн Е.Г. Линейное программирование. Теория
и конечные методы.  М.: Физматгиз, 1963.
[28] Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптималь-
ного управления. М.: Мир, 1974.

1   ...   50   51   52   53   54   55   56   57   58

Похожие:

Литература 185 icon№19 (185) общественно-политическая городская газета
Большинством голосов участников Публичных слушаний одобрен проект Генерального плана 
Литература 185 iconКласс: 12 Зачёт №2 «Русская литература 1917-1941»
Советская литература и социалистический реализм (Первый съезд советских писателей, создание теории социалистического реализма). Три...
Литература 185 iconДоклад   муниципального   дошкольного   образовательного   учреждения   детского   сада   общераз вивающего   вида     №  185 «Зоренька»
Муниципальное  дошкольное образовательное учреждение детский сад общеразвивающего 
Литература 185 iconЛитература древнерусская литература
Русская литература родилась в первой половине XI в в среде господствующего класса. В древней Руси ведущую роль в литературном процессе...
Литература 185 iconУчебники и учебные пособия по информатике для школы Контрольные вопросы и задания 185 Коротко о самом важном -186
Техника безопасности при проведении занятий в кабинете вычислительной техники 174
Литература 185 iconАннотация основной образовательной программы
Наименование: 032700 Филология. Магистерская программа «Иностранные языки и литература» (английский язык и литература, немецкий язык...
Литература 185 icon252 XV ежегодная богословская конференция 2005 г. При последних словах песенки большим пальцем руки щекочут ребенка. Игра
Цит по: Jose Manuel Fraile Gil. La poesia infantil en la tradicion madrilena. Madrid, 1994. P. 185
Литература 185 iconПрограмма курса 
Русский язык и литература», «Филоло- гия. Русский язык и литература. Бурятский язык и литература», «Журнали- стика»  и  студентов 2-го  курса  заочного  отделения  специальности  «Фило-...
Литература 185 iconЛитература литература •  Серия «Домашняя медицинская  энциклопедия. Здоровье от А до Я»
Серия «Европейский best  Духовная литература. Эзотерика 32 Современная проза» 
Литература 185 icon  в   жж-ки нашёл такую подборку инет-библиотек
Альдебаран-крупнейшая электронная библиотека on-line- художественная, учебная и техническая литература и книги различных жанров:...
Разместите кнопку на своём сайте:
TopReferat


База данных защищена авторским правом ©topreferat.znate.ru 2012
обратиться к администрации
ТопРеферат
Главная страница