Литература 185




PDF просмотр
НазваниеЛитература 185
страница6/58
Дата конвертации19.11.2012
Размер0.61 Mb.
ТипЛитература
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   58

џ1. Топология евклидовых пространств
15
обычного пространства, и если мы не можем их изобразить,
то можем представить себе и изучать (см. [19]).
И, хотя, современный математический язык вместо Ana-
lysis Situs давно использует термин топология, геометриче-
ская интерпретация различных формул по прежнему дает воз-
можность установить связь между формулами и геометриче-
скими образами. Более того, как отмечал А. Пуанкаре, язык
геометрии более точен, нежели аналитический, а аналогия с
обычной геометрией может создать ассоциации плодотвор-
ных идей и подсказать полезные обобщения. Образцом связи
анализа и геометрии может служить аналитическая геомет-
рия, где геометрические образы в основном рассматривают-
ся на плоскости и в трехмерном пространстве. В анализе, где
изучаются свойства, например, функций многих переменных,
изпользуется геометрический язык многомерных пространств.
Это позволяет соединить мощь анализа и наглядность геомет-
рии. В еще большей степени сказанное относится к теории экс-
тремальных задач.
В џ1 рассматриваются простейшие свойства многомерных
евклидовых пространств. Эти пространства интерпретируют-
ся как объект одновременно аналитический и геометрический.
Важнейшими свойствами таких объектов являются топологи-
ческие свойства, составляющие фундамент современного ана-
лиза и современной геометрии.
Евклидовы пространства. Будем называть n-мерным
вектором последовательность, состоящую из n действитель-
ных чисел, называемых координатами вектора. Если обозна-
чить через x некоторый n-мерный вектор, то координаты век-
тора x будем обозначать через x1, . . . , xn. При этом будем за-
писывать
x = (x1, . . . , xn).
Совокупность всех n-мерных векторов будем называть n-
мерным векторным пространством. Сумму двух векторов
x = (x1, . . . , xn),
y = (y1, . . . , yn)
определим по формуле
x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn),
(1)

16
Гл. 1. Основы многомерного анализа
а произведение вектора x на действительное число ?  по фор-
муле
?x = (?x1, . . . , ?xn).
(2)
Тогда разность
x ? y = (x1 ? y1, . . . , xn ? yn)
двух векторов
x = (x1, . . . , xn),
y = (y1, . . . , yn)
может быть определена по формуле
x ? y = (x1 + (?1)y1, . . . , xn + (?1)yn).
Если R  n-мерное векторное пространство, в котором
определены операции сложения векторов (1) и умножения на
скаляры (2), то будем говорить, что R  n-мерное линейное
действительное векторное пространство, и будем обозна-
чать такое пространство через Rn. Отметим, что особую роль
в пространстве Rn играет нулевой вектор 0, т.е. вектор, все
координаты которого равны нулю.
Помимо перечисленных операций в пространстве Rn мож-
но ввести также и операцию скалярного произведения векто-
ров.Пусть x и y  два произвольных вектора в Rn. Этим век-
торам можно поставить в соответствие действительное число
x, y , называемое скалярным произведением векторов x и y и
определяемое по формуле
x, y = x1y1 + . . . + xnyn.
Если вектор x совпадает с вектором y, то скалярное произве-
дение дает скалярный квадрат
x2 = x, x
вектора x, который всегда неотрицателен и обращается в нуль
тогда и только тогда, когда x = 0. Длина, или модуль, вектора
x есть неотрицательное число |x|, задаваемое равенством
|x| = +
x, x .
(3)

џ1. Топология евклидовых пространств
17
Линейное действительное пространство называется евклидо-
вым векторным пространством, если в нем определена дли-
на вектора, причем по формуле (3). Поскольку в дальнейшем
линейные действительные пространства с иной длиной векто-
ра не рассматриваются, будем обозначать n-мерное евклидово
векторное пространство через Rn.
В дальнейшем вектора часто будет удобно называть точ-
ками пространства Rn. При этом за расстояние между двумя
точками x и y в Rn примем неотрицательное число |x ? y|.
Пусть x и y  два произвольных вектора пространства Rn.
Тогда имеют место неравенства
x, y 2 ? x2y2
(4)
и
|x + y| ? |x| + |y|,
(5)
выражающие важнейшие свойства скалярного произведения
и расстояния; первое из этих неравенств называется неравен-
ством Коши  Буняковского, а второе  неравенством тре-
угольника.
В самом деле, для доказательства неравенства (4) рас-
смотрим вектор ?x + y, где ?  некоторое действительное чис-
ло, и составим скалярный квадрат этого вектора:
(?x + y)2 = ?2x2 + 2? x, y + y2.
(6)
Поскольку скалярный квадрат есть величина неотрицатель-
ная, то правая часть равенства (6) есть величина неотрица-
тельная при всех значениях ?. Поэтому квадратное относи-
тельно ? уравнение
?2x2 + 2? x, y + y2 = 0
не может иметь двух различных действительных корней. Сле-
довательно, дискриминант
D = x, y 2 ? x2y2
этого уравнения есть величина неположительная, откуда и вы-
текает неравенство (4).
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   58

Похожие:

Литература 185 icon№19 (185) общественно-политическая городская газета
Большинством голосов участников Публичных слушаний одобрен проект Генерального плана 
Литература 185 iconКласс: 12 Зачёт №2 «Русская литература 1917-1941»
Советская литература и социалистический реализм (Первый съезд советских писателей, создание теории социалистического реализма). Три...
Литература 185 iconДоклад   муниципального   дошкольного   образовательного   учреждения   детского   сада   общераз вивающего   вида     №  185 «Зоренька»
Муниципальное  дошкольное образовательное учреждение детский сад общеразвивающего 
Литература 185 iconЛитература древнерусская литература
Русская литература родилась в первой половине XI в в среде господствующего класса. В древней Руси ведущую роль в литературном процессе...
Литература 185 iconУчебники и учебные пособия по информатике для школы Контрольные вопросы и задания 185 Коротко о самом важном -186
Техника безопасности при проведении занятий в кабинете вычислительной техники 174
Литература 185 iconАннотация основной образовательной программы
Наименование: 032700 Филология. Магистерская программа «Иностранные языки и литература» (английский язык и литература, немецкий язык...
Литература 185 icon252 XV ежегодная богословская конференция 2005 г. При последних словах песенки большим пальцем руки щекочут ребенка. Игра
Цит по: Jose Manuel Fraile Gil. La poesia infantil en la tradicion madrilena. Madrid, 1994. P. 185
Литература 185 iconПрограмма курса 
Русский язык и литература», «Филоло- гия. Русский язык и литература. Бурятский язык и литература», «Журнали- стика»  и  студентов 2-го  курса  заочного  отделения  специальности  «Фило-...
Литература 185 iconЛитература литература •  Серия «Домашняя медицинская  энциклопедия. Здоровье от А до Я»
Серия «Европейский best  Духовная литература. Эзотерика 32 Современная проза» 
Литература 185 icon  в   жж-ки нашёл такую подборку инет-библиотек
Альдебаран-крупнейшая электронная библиотека on-line- художественная, учебная и техническая литература и книги различных жанров:...
Разместите кнопку на своём сайте:
TopReferat


База данных защищена авторским правом ©topreferat.znate.ru 2012
обратиться к администрации
ТопРеферат
Главная страница