Литература 185




PDF просмотр
НазваниеЛитература 185
страница7/58
Дата конвертации19.11.2012
Размер0.61 Mb.
ТипЛитература
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   58

18
Гл. 1. Основы многомерного анализа
Для доказательства неравенства (5) возведем в квадрат
величину |x + y| и запишем
|x + y|2 = x2 + 2 x, y + y2.
Отсюда в силу неравенства (4) имеем
|x + y|2 ? |x|2 + 2|x| |y| + |y|2 = (|x| + |y|)2.
(7)
Но так как обе величины |x| и |y| неотрицательны, из неравен-
ства (7) непосредственно следует неравенство (5).
Точечные множества и их свойства. Пусть
M1, M2, . . . , Mk
(8)
 произвольная система множеств пространства Rn. Опреде-
лим множество P , считая, что точка x пространства Rn при-
надлежит P тогда и только тогда, когда она принадлежит хотя
бы к одному из множеств системы (8). В этом случае множе-
ство P называется объединением множеств (8), что обознача-
ется
P = M1 ? M2 ? . . . ? Mk.
Определим теперь множество Q, считая, что точка x простран-
ства Rn принадлежит Q тогда и только тогда, когда она при-
надлежит к каждому из множеств системы (8). В этом случае
множество Q называется пересечением множеств (8), что обо-
значается
Q = M1 ? M2 ? . . . ? Mk.
Пусть теперь M  произвольное множество точек про-
странства Rn. Определим множество D, считая, что каждая
точка x ? Rn принадлежит множеству D тогда и только то-
гда, когда она не принадлежит ножеству M. В этом случае
множество D называется дополнением к множеству M, что
обозначается
D = Rn \ M.
При этом дополнение D к пространству Rn называется пу-
стым множеством.
Заметим теперь, что дополнение множества D совпадает
с множеством M. Далее, пусть
D1, D2, . . . , Dk
(9)

џ1. Топология евклидовых пространств
19
 система множеств, дополнительных к множествам (8), так
что Di является дополнением к множеству Mi. Тогда допол-
нение к объединению множеств (8) является пересечением
множеств (9) и, наоборот, дополнение к пересечению мно-
жеств (8) является объединением множеств (9).
Перейдем теперь к установлению некоторых простейших
топологических свойств евклидовых пространств. Эти свой-
ства непосредственно связаны понятиями открытого и замкну-
того множества. Последние понятия, в свою очередь, непосред-
ственно связаны с понятиями окрестности и предельной точки
множества.
Пусть a  произвольная точка пространства Rn и пусть r
 произвольное положительное число. Множество S точек из
Rn, расстояние которых до точки a меньше, чем r, называется
шаром радиуса r с центром в a. Всякий шар S с центром в a
называется окрестностью точки a. Множество G точек про-
странства Rn называется открытым, если для всякой точки
a ? G существует ее окрестность, целиком содержащаяся в
множестве G.
Пусть M  произвольное множество в пространстве Rn.
Точка a ? Rn называется предельной точкой множества M,
если каждая ее окрестность содержит точку множества M, от-
личную от a. Множество F точек пространства Rn называется
замкнутым, если каждая его предельная точка принадлежит
F .
Теорема 1. Дополнение к любому открытому множе-
ству замкнуто, а дополнение к любому замкнутому множе-
ству открыто. Более того, объединение любой системы от-
крытых множеств открыто, а пересечение любой системы
замкнутых множеств замкнуто. Оказывается также, что
пересечение любого конечного числа открытых множеств
открыто, а объединение любого конечного числа замкнутых
множеств замкнуто.
Доказательство. Прежде всего, покажем, что дополне-
ние к любому открытому множеству замкнуто, а дополнение
к любому замкнутому множеству открыто.

20
Гл. 1. Основы многомерного анализа
Пусть G  некоторое множество действительных чисел, а
F  его дополнение. Предположим, что G  открытое мно-
жество, и покажем, что в этом случае F  замкнутое мно-
жество. Для этого обозначим через a некоторую предельную
точку множества F и покажем, что a ? F .
В самом деле, если точка a не принадлежит множеству F ,
то a ? G. Тогда, поскольку множество G по условию откры-
то, то существует окрестность S(a) точки a, целиком содержа-
щаяся в G и, следовательно, не содержащая ни одной точки
множества F , отличной от a. Последнее, однако, невозможно,
поскольку точка a является предельной точкой множества F ,
т.е. a ? F .
Допустим теперь, что множество F замкнуто и докажем,
что множество G открыто.
Пусть a  произвольная точка из G. Так как эта точка не
может принадлежать множеству F в силу его замкнутости,
она также не является предельной точкой для F , т.е. суще-
ствует окрестность S(a) точки a, не содержащая отличных от
a точек множества F . Но точка a не принадлежит множеству
F и, потому, вся окрестность S(a) содержится в множестве G.
Следовательно, множество G открыто.
Покажем теперь, что объединение G любой системы ? от-
крытых множеств открыто.
В самом деле, пусть Gk  произвольное множество из си-
стемы ? и пусть a  произвольная точка множества Gk. По-
скольку множество Gk открыто, существует окрестность S(a)
точки a, целиком содержащаяся в множестве Gk. Но множе-
ство Gk само целиком содержится в множестве G и, следова-
тельно, S(a) ? G, т.е. множество G открыто.
Покажем теперь, что пересечение любого конечного числа
открытых множеств открыто.
Пусть
G1, G2, . . . , Gk
 конечная система ? открытых множеств и пусть a  произ-
вольная точка, принадлежащая к пересечению
G = G1 ? G2 ? . . . ? Gk
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   58

Похожие:

Литература 185 icon№19 (185) общественно-политическая городская газета
Большинством голосов участников Публичных слушаний одобрен проект Генерального плана 
Литература 185 iconКласс: 12 Зачёт №2 «Русская литература 1917-1941»
Советская литература и социалистический реализм (Первый съезд советских писателей, создание теории социалистического реализма). Три...
Литература 185 iconДоклад   муниципального   дошкольного   образовательного   учреждения   детского   сада   общераз вивающего   вида     №  185 «Зоренька»
Муниципальное  дошкольное образовательное учреждение детский сад общеразвивающего 
Литература 185 iconЛитература древнерусская литература
Русская литература родилась в первой половине XI в в среде господствующего класса. В древней Руси ведущую роль в литературном процессе...
Литература 185 iconУчебники и учебные пособия по информатике для школы Контрольные вопросы и задания 185 Коротко о самом важном -186
Техника безопасности при проведении занятий в кабинете вычислительной техники 174
Литература 185 iconАннотация основной образовательной программы
Наименование: 032700 Филология. Магистерская программа «Иностранные языки и литература» (английский язык и литература, немецкий язык...
Литература 185 icon252 XV ежегодная богословская конференция 2005 г. При последних словах песенки большим пальцем руки щекочут ребенка. Игра
Цит по: Jose Manuel Fraile Gil. La poesia infantil en la tradicion madrilena. Madrid, 1994. P. 185
Литература 185 iconПрограмма курса 
Русский язык и литература», «Филоло- гия. Русский язык и литература. Бурятский язык и литература», «Журнали- стика»  и  студентов 2-го  курса  заочного  отделения  специальности  «Фило-...
Литература 185 iconЛитература литература •  Серия «Домашняя медицинская  энциклопедия. Здоровье от А до Я»
Серия «Европейский best  Духовная литература. Эзотерика 32 Современная проза» 
Литература 185 icon  в   жж-ки нашёл такую подборку инет-библиотек
Альдебаран-крупнейшая электронная библиотека on-line- художественная, учебная и техническая литература и книги различных жанров:...
Разместите кнопку на своём сайте:
TopReferat


База данных защищена авторским правом ©topreferat.znate.ru 2012
обратиться к администрации
ТопРеферат
Главная страница