Литература 185




PDF просмотр
НазваниеЛитература 185
страница8/58
Дата конвертации19.11.2012
Размер0.61 Mb.
ТипЛитература
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   58

џ1. Топология евклидовых пространств
21
множеств системы ?. Поскольку точка a принадлежит к каж-
дому из множеств Gi системы ?, а множество Gi открыто, то
существует окрестность S(a, ri) радиуса ri точки a, целиком
содержащаяся в множестве Gi. Обозначим через r  наимень-
шее из чисел r1, r2, . . . , rk. Тогда окрестность S(a, r) точки a
содержится в каждом из множеств Gi выбранной выше систе-
мы ? и, следовательно, принадлежит множеству G. Поэтому
множество G открыто.
Переходя теперь от открытых множеств системы ? или ?
к их дополнениям, получим, что пересечение любой системы
замкнутых множеств и объединение любого конечного числа
замкнутых множеств также замкнуто.
Замечание. Легко видеть, что все пространство Rn, а
также пустое множество являются одновременно открытыми
и замкнутыми. При этом каждое конечное множество F из Rn
замкнуто, поскольку оно вообще не имеет предельных точек
и, значит, содержит их все.
Позволим себе привести весьма прозрачную иллюстрацию
второй части последнего замечания, заимствованную из книги
[25].
Пример 1. Будем говорить, что некий человек обладает
свойством (Р), если его рост больше роста его детей. Тогда,
очевидно, любой человек, вообще не имеющий детей, будет
обладать свойством (Р). Аналогичным образом, любое конеч-
ное множество вообще не имеет предельных точек, и потому
содержит их все.
Пусть
a1, a2, . . . , ak, . . .
(10)
 некоторая бесконечная последовательность точек простран-
ства Rn и пусть M  множество точек последовательности (10).
Последовательность (10) отличается от множества M не толь-
ко тем, что ее точки занумерованы, но и тем, что различные
точки этой последовательности могут совпадать между собой.
Поэтому множество M точек бесконечной последовательности
(10) может быть уже конечным.

22
Гл. 1. Основы многомерного анализа
Последовательность (10) называется ограниченной, если
существует такое положительное число r, что для каждой точ-
ки ak этой последовательности выполнено неравенство
|ak| < r.
Аналогичным образом, произвольное множество E простран-
ства Rn называется ограниченным, если существует такое по-
ложительное число r, что для каждой точки x ? E выполнено
неравенство
|x| < r.
При этом говорят, что последовательность (10) сходится к
точке a ? Rn, если имеет место равенство
lim |ak ? a| = 0.
(11)
k??
Замечание. Легко видеть, что последовательность (10)
ограничена тогда и только тогда, когда ограничены последо-
вательности
ai1, ai2, . . . , aik, . . . , i = 1, . . . , n.
Аналогичным образом, равенство (11) справедливо тогда и
только тогда, когда
lim |aik ? ai| = 0, i = 1, . . . , n.
k??
Предположим теперь, что M  некоторая часть действи-
тельной оси R. Не предполагая ограниченности множества M,
предположим теперь, что существует такое действительное
число r, что для всех x ? M выполнено неравенство
x < r.
Тогда существует наименьшее действительное число ?M, для
которого еще выполнено неравенство
x ? ?M .
Такое число ?M называется точной верхней гранью множества
M , что обозначается
?M = sup x.
x?M

џ1. Топология евклидовых пространств
23
Легко видеть, что точная верхняя грань множества M мо-
жет как принадлежать к множеству M, так и нет.
Пример 2. Предположим, что множество M представляет
собой интервал (0, 1). В этом случае
?M = sup x = 1
0не принадлежит M. Если же M  отрезок [0, 1], то
?M = sup x = 1
0?x?1
уже принадлежит M.
Если существует такое действительное число r, что для
всех точек x ? M выполнено неравенство
x > r,
то существует наибольшее действительное число ?M, для ко-
торого еще выполнено неравенство
x ? ?M .
Такое число ?M называется точной нижней гранью множе-
ства M, что обозначается
?M = inf x.
x?M
При этом как и в случае точной верхней грани ?M точная
нижняя грань ?M может как принадлежать множеству M,
так и нет.
Возвращаясь теперь к ограниченным множествам, заме-
тим, что имеет место следующая фундаментальная
Теорема 2 (Больцано  Вейерштрасс). Каждое бесконеч-
ное ограниченное множество имеет по крайней мере одну
предельную точку.
Доказательство. Пусть E  некоторое бесконечное ог-
раниченное множество на действительной прямой R. Обозна-
чим через M множество всех точек x прямой R, обладающих
следующим свойством: справа от точки x имеется бесконечное
множество точек множества E. Множество M непусто, так как
оно содержит, например, нижнюю грань ?E множества E. При
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   58

Похожие:

Литература 185 icon№19 (185) общественно-политическая городская газета
Большинством голосов участников Публичных слушаний одобрен проект Генерального плана 
Литература 185 iconКласс: 12 Зачёт №2 «Русская литература 1917-1941»
Советская литература и социалистический реализм (Первый съезд советских писателей, создание теории социалистического реализма). Три...
Литература 185 iconДоклад   муниципального   дошкольного   образовательного   учреждения   детского   сада   общераз вивающего   вида     №  185 «Зоренька»
Муниципальное  дошкольное образовательное учреждение детский сад общеразвивающего 
Литература 185 iconЛитература древнерусская литература
Русская литература родилась в первой половине XI в в среде господствующего класса. В древней Руси ведущую роль в литературном процессе...
Литература 185 iconУчебники и учебные пособия по информатике для школы Контрольные вопросы и задания 185 Коротко о самом важном -186
Техника безопасности при проведении занятий в кабинете вычислительной техники 174
Литература 185 iconАннотация основной образовательной программы
Наименование: 032700 Филология. Магистерская программа «Иностранные языки и литература» (английский язык и литература, немецкий язык...
Литература 185 icon252 XV ежегодная богословская конференция 2005 г. При последних словах песенки большим пальцем руки щекочут ребенка. Игра
Цит по: Jose Manuel Fraile Gil. La poesia infantil en la tradicion madrilena. Madrid, 1994. P. 185
Литература 185 iconПрограмма курса 
Русский язык и литература», «Филоло- гия. Русский язык и литература. Бурятский язык и литература», «Журнали- стика»  и  студентов 2-го  курса  заочного  отделения  специальности  «Фило-...
Литература 185 iconЛитература литература •  Серия «Домашняя медицинская  энциклопедия. Здоровье от А до Я»
Серия «Европейский best  Духовная литература. Эзотерика 32 Современная проза» 
Литература 185 icon  в   жж-ки нашёл такую подборку инет-библиотек
Альдебаран-крупнейшая электронная библиотека on-line- художественная, учебная и техническая литература и книги различных жанров:...
Разместите кнопку на своём сайте:
TopReferat


База данных защищена авторским правом ©topreferat.znate.ru 2012
обратиться к администрации
ТопРеферат
Главная страница