Литература 185




PDF просмотр
НазваниеЛитература 185
страница9/58
Дата конвертации19.11.2012
Размер0.61 Mb.
ТипЛитература
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   58

24
Гл. 1. Основы многомерного анализа
этом справа от точной верхней грани ?E множества E нет ни
одной точки множества M.
Поскольку множество M ограничено и непусто, оно име-
ет точную верхнюю грань, которую для простоты обозначим
через b. Тогда оказывается, что точка b является предельной
точкой множества E.
В самом деле, пусть ?  произвольное положительное чис-
ло и пусть (b ? ?, b + ?)  соответствующая окрестность точки
b. Легко видеть, что отрезок [b ? ?, b] содержит по крайней
мере одну точку множества M, причем справа от b нет ни од-
ной точки множества M; в частности, точка b + ? не является
точкой множества M. Но так как x есть точка множества M,
то справа от x и, следовательно, b ? ? имеется бесконечное
множество точек множества E. При этом, однако, поскольку
точка b + ? не принадлежит к множеству M, то справа от b + ?
имеется лишь конечное число точек множества E. Поэтому на
интервале (b ? ?, b + ?) содержится бесконечное множество то-
чек множества E. Но так как (b ? ?, b + ?) есть произвольная
окрестность точки b, то b есть предельная точка множества
E.
В качестве следствия теоремы Больцано  Вейерштрасса
справедлива следующая важнейшая
Теорема 3. Из всякой ограниченной последовательности
можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Рассмотрим ограниченную числовую
последовательность
x1, x2, . . . , xk, . . .
(12)
и, прежде всего, покажем, что из последовательности (12)
всегда можно выбрать либо стационарную подпоследователь-
ность (т.е. последовательность, все элементы которой совпа-
дают, начиная с некоторого), либо подпоследовательность, со-
стоящую из попарно различных элементов.
В самом деле, положим k1 = 1 и будем искать в после-
довательности (12) первый элемент xk , не равный x . Если
2
k1

џ1. Топология евклидовых пространств
25
такого элемента нет, то
x1 = x2 = . . . = xk = . . .
и последовательность (12) стационарна. Если же такой эле-
мент существует, то будем искать первый элемент xk , где
3
k3 > k2 > k1, отличный как от xk , так и от x . Продол-
2
k1
жая действовать аналогичным образом, несложно построить
либо бесконечную подпоследовательность
xk , x , . . . , x , . . .
lim k
1
k2
kp
p = ?
(13)
p??
последовательности (12), состоящую из попарно различных
элементов, либо выбрать конечное число элементов
xk , x , . . . , x
(14)
1
k2
ks
обладающих тем свойством, что каждый из элементов после-
довательности (12) совпадает с одним из элементов множества
(14). В последнем случае существует некоторая бесконечная
подпоследовательность
xm , x
, . . . , x
, . . .
(15)
1
m2
mk
последовательности (12), состоящая из элементов, которые все
равны одному и тому же элементу конечного множества (14).
Последовательность (15) стационарна и, следовательно,
сходится. Поэтому остается рассмотреть случай, когда в по-
следовательности (12) существует бесконечная подпоследова-
тельность (13), состоящая из попарно различных элементов.
Эти элементы образуют бесконечное ограниченное множество,
имеющее в силу теоремы 2 предельную точку a. К этой точке,
очевидно, и сходится последовательность (13).
Для точечных множеств в пространстве Rn справедливы,
вообще говоря, теоремы, аналогичные теоремам 2 и 3. Объеди-
няя эти теоремы в одну, имеем следующую фундаментальную
теорему.
Теорема 4. Из каждой ограниченной последовательно-
сти можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
При этом всякое ограниченное бесконечное множество E
имеет по крайней мере одну предельную точку.

26
Гл. 1. Основы многомерного анализа
Доказательство. Переходя к координатной форме за-
писи, положим
ak = (a1k, . . . , ank), k = 1, 2, 3, . . .
Если последовательность (10) ограничена, то существует такое
положительное число r, что
|aik| < r, i = 1, . . . , n, k = 1, 2, 3, . . .
Поэтому последовательность
a11, a12, . . . , a1k, . . .
(16)
действительных чисел ограничена и, значит, в силу теоремы
3 из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
Для простоты обозначений будем считать, что выбранная под-
последовательность совпадает с последовательностью (16). То-
гда имеем
lim a1k = a1,
k??
где a1  некоторое действительное число.
Заметим теперь, что последовательность
a21, a22, . . . , a2k, . . .
(17)
также ограничена и потому из нее можно выбрать сходящую-
ся подпоследовательность. Для простоты будем считать, что
выбранная подпоследовательность совпадает с последователь-
ностью (17). Продолжая действовать аналогичным образом,
видим, что из последовательности (10) можно выбрать сходя-
щуюся подпоследовательность
al , a , . . . , a , . . .
lim l
1
l2
lk
k = ?,
(18)
k??
такую, что
lim ail = ai, i = 1, . . . , n.
(19)
k??
k
Положим
a = (a1, . . . , an).
Тогда из равенства (19) следует, что
lim |al ? a| = 0,
k??
k
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   58

Похожие:

Литература 185 icon№19 (185) общественно-политическая городская газета
Большинством голосов участников Публичных слушаний одобрен проект Генерального плана 
Литература 185 iconКласс: 12 Зачёт №2 «Русская литература 1917-1941»
Советская литература и социалистический реализм (Первый съезд советских писателей, создание теории социалистического реализма). Три...
Литература 185 iconДоклад   муниципального   дошкольного   образовательного   учреждения   детского   сада   общераз вивающего   вида     №  185 «Зоренька»
Муниципальное  дошкольное образовательное учреждение детский сад общеразвивающего 
Литература 185 iconЛитература древнерусская литература
Русская литература родилась в первой половине XI в в среде господствующего класса. В древней Руси ведущую роль в литературном процессе...
Литература 185 iconУчебники и учебные пособия по информатике для школы Контрольные вопросы и задания 185 Коротко о самом важном -186
Техника безопасности при проведении занятий в кабинете вычислительной техники 174
Литература 185 iconАннотация основной образовательной программы
Наименование: 032700 Филология. Магистерская программа «Иностранные языки и литература» (английский язык и литература, немецкий язык...
Литература 185 icon252 XV ежегодная богословская конференция 2005 г. При последних словах песенки большим пальцем руки щекочут ребенка. Игра
Цит по: Jose Manuel Fraile Gil. La poesia infantil en la tradicion madrilena. Madrid, 1994. P. 185
Литература 185 iconПрограмма курса 
Русский язык и литература», «Филоло- гия. Русский язык и литература. Бурятский язык и литература», «Журнали- стика»  и  студентов 2-го  курса  заочного  отделения  специальности  «Фило-...
Литература 185 iconЛитература литература •  Серия «Домашняя медицинская  энциклопедия. Здоровье от А до Я»
Серия «Европейский best  Духовная литература. Эзотерика 32 Современная проза» 
Литература 185 icon  в   жж-ки нашёл такую подборку инет-библиотек
Альдебаран-крупнейшая электронная библиотека on-line- художественная, учебная и техническая литература и книги различных жанров:...
Разместите кнопку на своём сайте:
TopReferat


База данных защищена авторским правом ©topreferat.znate.ru 2012
обратиться к администрации
ТопРеферат
Главная страница