Автореферат диссертации на соискание ученой степени




Скачать 51.85 Kb.
PDF просмотр
НазваниеАвтореферат диссертации на соискание ученой степени
Дата конвертации07.01.2013
Размер51.85 Kb.
ТипАвтореферат диссертации
Московский государственный университет
имени М.В. Ломоносова
Механико-математический факультет
На правах рукописи
УДК 517.95
Данилова Евгения Александровна
Некоторые вопросы,
связанные с модификациями
уравнения синус-Гордона
01.01.02 – дифференциальные уравнения, динамические системы и
оптимальное управление
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Москва – 2012

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-
математического факультета Московского государственного университета
имени М. В. Ломоносова.
Научный руководитель:
кандидат физико-математических наук,
доцент Эмиль Ренольдович Розендорн
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Соколов Дмитрий Дмитриевич
Московский государственный университет
им. М. В. Ломоносова, профессор
доктор физико-математических наук,
профессор Зайцев Валентин Федорович
Российский государственный педагогический
университет им. А. И. Герцена, профессор
Ведущая организация:
Институт проблем механики
им. А. Ю. Ишлинского РАН
Защита диссертации состоится 30 марта 2012 года на заседании диссерта-
ционного совета Д. 501.001.85 в Московском государственном университете
им. М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы,
МГУ, механико-математический факультет, аудитория 1624.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математи-
ческого факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)
Автореферат разослан 29 февраля 2012 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
Д. 501.001.85 в МГУ
доктор физико-математических наук,
профессор
В. Н. Сорокин

Общая характеристика работы
Актуальность темы
В настоящее время наблюдается большой интерес к проблеме распро-
странения волн в газожидкостных системах. Это связано с тем, что газо-
жидкостные потоки часто встречаются в природе, а также в гидродина-
мических процессах современной технологии и энергетики. Большая часть
процессов ультразвуковой технологии тоже осуществляется в газожидкост-
ных средах. Часто при исследовании1, 2 реальная жидкость рассматрива-
ется как двухфазная среда с начальными параметрами газосодержания,
соответствующими экспериментальным данным.
Предложены различные приближенные модели, описывающие движение
газожидкостной смеси, в том числе уравнение Клейна-Гордона3. На основе
этих моделей проводится изучение акустических свойств жидкостей с пу-
зырьками газа, а также исследование волн конечной амплитуды в смесях.
Обсудим один нестандартный пример4. Дождь падает на поверхность
озера, порождая звуковые волны, которые распространяются над водой.
Этот шум складывается из большого количества падений маленьких ка-
пелек дождя. После проведения соответствующего масштабирования шум,
распространяющийся в трехмерной среде, можно считать пространствен-
но однородным у поверхности озера. Следовательно, шум действует на 2-
мерной границе 3-мерной области. В двумерном случае можно представить
себе границу некоего плоского объекта, которая испытывает случайное воз-
действие в перпендикулярном направлении. В этом случае шум действует
на 1-мерной границе 2-мерной области. Здесь получается нелинейное урав-
нение Клейна-Гордона.
Также, уравнение Клейна-Гордона и его возмущения возникают при опи-
сании взрывных неустойчивостей поверхности жидкого металла во внеш-
нем электрическом поле5, заряженной поверхности диэлектрической жид-
1Чулкова Н. В., Макаров В. К., Супрун С. Г., Макарова Т. В. Исследование концентрации кавита-
ционных зародышей в воде. В сб.: Акустика и ультразвуковая техника, вып. 15, Киев, 1980, с. 13–16.
2Кедринекий В. К. Динамика зоны кавитации при подводном взрыве вблизи свободной поверхно-
сти. журнал ПМТФ, 1975, № 5, с. 68–78.
3Малых Н. В., Огородников И. А. О применении уравнения Клейна-Гордона для описания струк-
туры импульсов сжатия в жидкости с пузырьками газа. В сб.: Динамика сплошной среды, вып. 29,
Новосибирск, Изд-во Ин-та гидродинамики СО АН СССР, 1977, с. 143–148.
4Dalang R. C. Leveque O. Second-order hyperbolic SPDE’s driven by homogeneous gaussian noise on a
hyperplane Transactions of the AMS, 2006, vol. 358, № 5, p. 2123–2159.
5Зубарев Н. М. Письма в ЖТФ, 1999, т. 25, вып. 21, с. 65–69.
1

кости6, тангенциального разрыва по механизму Кельвина-Гельмгольца7 и
др.
Для описания нелинейных сейсмических эффектов и процессов разра-
ботано большое количество математических моделей. Согласно этим мо-
делям, нелинейные эффекты в геофизических средах можно описать в
рамках уравнений Бусинеска, Бургерса, Кортевега-де-Фриза, Шредингера,
синус-Гордона и их модификаций, в которых существенными оказывают-
ся нелинейности, диссипация и дисперсия – основные характеристики и
геофизической среды, и волновых процессов, протекающих в ней.
Нелинейное уравнение Клейна-Гордона
z′′ (x, t) − z′′ (x, t) = f (z (x, t))
(1)
xx
tt
является одним из классических уравнений теории нелинейных волн. Обзор
задач, приводящих к этому уравнению, можно найти, например, в моно-
графии Р. Додда8. Это уравнения встречается в теории магнетиков, теории
дислокаций, теории джозефсоновских переходов.
Частным случаем уравнения Клейна-Гордона является уравнение синус-
Гордона
z′′ (x, t) − z′′ (x, t) = sin (z (x, t)) .
(2)
xx
tt
Первоначально оно появилось в геометрии. Его можно получить с по-
мощью построений, которые делал Чебышев в работе "О кройке одеж-
ды"(1878 г.). В 1901 г. уравнение (2) использовал Гильберт при доказа-
тельстве непогружаемости плоскости Лобачевского в трехмерное евклидо-
во пространство.
Впоследствии уравнение (2) оказалось важным для математической фи-
зики и получило название синус-Гордона (Sine-Gordon).
В ряде современных практических применений (например, нестационар-
ный эффект Джозефсона) в левой части уравнения синус-Гордона появля-
ется слагаемое с первой производной по времени (так называемое возму-
щение):
z′′ (x, t) − z′′ (x, t) + az′ (x, t) = sin (z (x, t)) .
(3)
xx
tt
t
На малом интервале времени этим слагаемым часто пренебрегают9, что,
по мнению практиков, допустимо, в то время как для продолжительных
6Горьков Л. П., Черникова Д. М. ДАН СССР, 1976, т. 228, вып. 4, с. 829–832.
7Кузнецов Е. А., Лушников П. М. ЖЭТФ, 1995, т. 108, вып. 2 (8), с. 614–630.
8Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения.
Москва: Мир, 1988.
9Бароне А., Патерно Дж. Эффект Джозефсона. М.: Мир, 1984.
2

интервалов времени аналогичное пренебрежение, может привести к потере
решения специального вида - решения типа бегущей волны, сглаживаю-
щейся на бесконечности.
Этим термином будем называть решение вида φ (x, t) = g (x − v · t),
отличное от константы, у которого g (ξ) стремятся к константам при ξ →
+∞ и при ξ → −∞, и у которого g′ (ξ) стремятся к нулю при ξ → +∞ и
при ξ → −∞.
В статьях Fiore10 показано, что при таком пренебрежении теряются
некоторые решения солитонного типа, которые являются частным случаем
решений типа бегущей волны, сглаживающейся на бесконечности.
Цель работы состоит в исследовании существования решения и значи-
мости вклада от возмущения для уравнения Клейна-Гордона и конкретной
модификации синус-Гордона. Основные задачи исследования:
1. Исследовать вопрос существования решения задачи Коши возмущён-
ного уравнения Клейна-Гордона в бесконечной полосе.
2. Оценить отклонение решения задачи Коши возмущённого уравнения
Клейна-Гордона от невозмущённого.
3. Изучить некоторые свойства решений специальным образом модифи-
цированного, а затем возмущенного уравнения синус-Гордона.
Научная новизна
1. Найдены достаточные условия существования в бесконечной полосе
решения задачи Коши для возмущенного уравнения Клейна-Гордона.
2. При этих достаточных условиях получена универсальная оценка ши-
рины той полосы, где решения существуют (Теорема 1).
3. Получена количественная оценка относительной погрешности реше-
ния возмущенного уравнения Клейна-Гордона при замене уравнения
на невозмущенное (Теорема 2).
4. Доказано существование решения типа волны, сглаживающейся на
бесконечности, невозмущённого модифицированного уравнения синус-
Гордона. Получена связь между параметром возмущения, направлени-
ем и скоростью движения волны возмущённого модифицированного
уравнения синус-Гордона.
10Gaetano Fiore On soliton and other travelling-wave solutions of a perturbed sine-Gordon equation.
Preprint Matematica e Applicazioni, Universita’ di Napol, 2007.
3

Указанные здесь основные результаты являются новыми, полностью
обоснованны и получены автором самостоятельно. Точные формулировки
основных результатов приведены ниже.
Теоретическая и практическая значимость работы
Диссертация носит теоретический характер.
Результаты диссертации могут найти применение при изучении эффекта
Джозефсона11, а также в других нелинейных задачах, приводящих к урав-
нению Клейна-Гордона12 и их модификациям. Результаты работы могут
быть использованы для исследования нелинейных сейсмических эффектов
и процессов, в технологиях связи, в волновой генетике.
Методы исследования - методы последовательного приближения, по-
строения фазовых портретов, оценивания функций и интегралов, асимпто-
тические методы, численные методы и моделирование.
Апробация результатов работы
Основные результаты диссертационной работы были представлены на
• ежегодных семинарах МГУ им. М.В. Ломоносова "Асимптоти-
ческие методы математической физики"под руководством профессора
Шамаева А. С. (г. Москва, 2008-2011 г.г.),
• семинаре
"Геометрия
в
целом"под
руководством
доцента
Розендорна Э. Р. (г. Москва, 2008 г.),
• семинаре в вычислительном центре под руководством профессора
Соколова Д. Д. (г. Москва, 2011 г.),
• "VII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной мате-
матике"(г. Кисловодск, 2006 г., весенняя сессия)
• "VIII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной ма-
тематике"(г. Адлер, 2007 г., осенняя сессия),
• "XII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной мате-
матике"(г. Казань, 2011 г., весенняя сессия),
• Международный семинар "Partial Differential Equations"(г. Капут,
Германия, 2011 г.).
11Бароне А., Патерно Дж. Эффект Джозефсона. М.: Мир, 1984.
12Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения.
Москва: Мир, 1988.
4

Публикации по теме диссертации.
По результатам исследований, выполненных в процессе работы над дис-
сертацией, опубликовано 4 научные работы, все статьи из перечня ВАК.
Список работ приведен в конце автореферата.
Структура и объём работы.
Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка ис-
пользованной литературы, включающего 18 наименования. Объем работы
71 страница машинописного текста.
Краткое содержание работы
Во введении, изложена краткая история вопроса и сформулированы
основные результаты.
В первой главе показана актуальность темы и описана используемая
терминология.
Во второй главе доказано существование решения в полосе задачи
Коши возмущённого уравнения Клейна-Гордона, а именно:
Рассмотрим уравнение:
φtt (x, t) = a2 · φxx (x, t) + b (x, t) φt (x, t) + f (φ (x, t)) ,
(4)
где a = const, a ̸= 0, |b (x, t)|
B, |bx (x, t)|
B1, |bt (x, t)|
B2, c =
= const, f задана и дифференцируема на всей числовой оси и ее произ-
водная ограничена |f ′ (φ)| ≤ M . Поставим для него задачу Коши:
φ (x, t) |t=0= ψ0 (x) , φt (x, t) |t=0= ψ1 (x) , −∞ < x < +∞.
(5)
Теорема 1. Существует H такое, что для любого 0 < h < H задача
Коши (4-5) имеет решение в полосе
1
0
t
h
H = (√
),
(B + a (b1 + b2))2 + M/2 + (B + a (b1 + b2))
где b1 = b2 = aB1+B2 .
8a2
Далее получена оценка относительной погрешности решения задачи
Коши в полосе при замене возмущённого уравнения Клейна-Гордона невоз-
мущённым.
5

Рассмотрим еще одно уравнение
φtt (x, t) = a2 · φxx (x, t) + f (φ (x, t)) ,
(6)
. Поставим для него ту же задачу Коши (5).
Введем обозначения:
m = max 1 b (x, y) ,
4a
n1 = max 1 (b
8a2
y (x, y) − abx (x, y)) ,
n2 = max 1 (b
8a2
y (x, y) + abx (x, y)) ,
M = max
1 f′ .
4a2
Обозначим решение задачи Коши (6-5) через φ∗ (x, t), а решение зада-
чи (4-5) - через φ (x, t).
Теорема 2. Если φ ̸= 0, то в условиях предыдущей теоремы для любых
x и t из полосы 0 ≤ t ≤ H справедливо:
max |φ − φ∗|

8maH + 2 (n1 + n2) a2H2 ,
max |φ|
1 − 2Ma2H2

где △ – треугольник с вершинами в точках (x − at; 0), (x; t), (x + at; 0).
При доказательстве этих теорем использовалось сведение к интеграль-
ным уравнениям, метод последовательных приближений и метод сжимаю-
щих отображений.
Из полученного неравенства следует, что
1) чем ближе точка (u, v) к прямой, на которой заданы начальные усло-
вия, т. е. чем меньше h, тем ближе решения;
2) чем меньше величины max |ε1|, max |ε2|, max |ε1u|, max |ε2v|, тем ближе
решения;
3) получены количественные оценки близости, а именно это важно для
применений.
В физике (как упоминалось выше) при построении решения задачи
Коши возмущенного нелинейного уравнения Клейна-Гордона для малых
по модулю постоянных εj заменяют их нулем. Таким образом, данная гла-
ва позволяет находить те границы, в которых такая замена допустима в
конкретных задачах.
Третья глава посвящена изучению наличия решений типа бегущих
волн, сглаживающихся на бесконечности, а также уединенных волн.
6

Уединенной волной будем называть решение вида φ (x, t) = g (x − v · t),
отличное от константы, у которого g (ξ) стремятся к константам при ξ →
+∞ и при ξ → −∞, и у которого g′ (ξ) стремятся к нулю при ξ → +∞
и при ξ → −∞, а кроме того g′ (ξ) меняет знак не более одного раза при
изменении ξ от −∞ до +∞.
Рассмотрим уравнение Клейна-Гордона:
φxx (x, t) − φtt (x, t) = f (φ (x, t)) .
(7)
Сделаем замену
φ (x, t) = g (ξ) , где ξ = x − v · t.
(8)
При v ̸= ±1 уравнение (7) вместе с заменой (8) будет эквивалентно следу-
ющему:
1
g′′ (ξ) =
f (g (ξ)) ,
(1 − v2)
которое после домножения на g′ (ξ) можно проинтегрировать:
ξ

(
)
2
2
sgn 1 − v2
(g′ (ξ)) =
f (g (s)) g′ (s) ds +
C2,
(1 − v2)
(1 − v2)
ξ0

где C = g′ (ξ0)
|1 − v2|, а ξ0 – произвольная точка того промежутка, где
определена g (ξ).
Функция g (ξ) ∈ C2 (R) из определения классического решения диф-
ференциального уравнения второго порядка. Тогда если f (ζ) непрерывна
на R, то к интегралу в правой части можно применить теорему о замене
переменной в определенном интеграле. Таким образом,


g
(
) ∫
2
1
(g′ (ξ)) =

·

|
2sgn 1 − v2
f (ζ) dζ + C2
,
(9)
1 − v2|
g0
где g0 = g (ξ0).
Рассмотрим промежуток строгой монотонности ( ˆ
g1; ˆ
g2) функции g(ξ).
Пусть g0 ∈ ( ˆ
g1; ˆ
g2). Тогда правая часть (9) положительна и можно приме-
нить теорему об обратной функции:
2
1 − v2
(ξ′ (g)) =
.
(10)
g

2sgn (1 − v2) · f (ζ) dζ + C2
g0
7

Таким образом, в предположении строгой монотонности функции g(ξ) на
( ˆ
g1; ˆ
g2), чтобы решение φ(x, t) было бегущей волной, сглаживающейся на
бесконечности, необходимо и достаточно расходимости интеграла
g

√|1 − v2|

dv
g

g0
2sgn (1 − v2) · f (ζ) dζ + C2
g0
при g → ˆ
g1 и при g → ˆ
g2.
Применив эти соображения, а также метод фазовых портретов и асимп-
тотические методы, автором доказаны две следующие теоремы.
Теорема 3. При v ̸= ±1 у уравнения
φxx (x, t) − φtt (x, t) = sin (φ (x, t)) + sin (3 · φ (x, t))
(11)
существуют решения типа бегущей волны, сглаживающейся на беско-
нечности:
1) при |v| > 1
(a)
g
∫ √ 3(v2 − 1)
ξ =
dg;
8 (cos3 (g))
g4
(b)
g
∫ √ 3(v2 − 1)
ξ =
dg;
8 (1 + cos3 (g))
g3
2) при 0 < |v| < 1
(a)
g
∫ √ 3(1 − v2)
ξ =
dg;
8 (− cos3 (g))
g2
(b)
g
∫ √ 3(1 − v2)
ξ =
dg.
8 (1 − cos3 (g))
g1
8

Теорема 4. Уравнение
φxx (x, t)−φtt (x, t)+a·φt (x, t) = sin (φ (x, t))+sin (3 · φ (x, t)) , a ̸= 0. (12)
имеет следующие решения типа бегущей волны, сглаживающейся на бес-
конечности:
1) при a < 0:
(a) волна, сглаживающейся на бесконечности, бегущая влево, со ско-
ростью |v| > 1;
(b) волна, сглаживающейся на бесконечности, бегущая вправо, со
скоростью |v| < 1;
2) при a > 0:
(a) волна, сглаживающейся на бесконечности, бегущая влево, со ско-
ростью |v| < 1;
(b) волна, сглаживающейся на бесконечности, бегущая вправо, со
скоростью |v| > 1;
3) при любом a ̸= 0:
(a) уединенная волна, бегущая вправо, со скоростью v = 1;
(b) уединенная волна, бегущая влево, со скоростью v = −1.
Теорема 3 показывает, что невозмущенное модифицированное уравнение
синус-Гордона имеет решения типа уединенной волны и дает формулы для
этих решений.
Теорема 4 показывает, что возмущенное модифицированное уравнение
синус-Гордона при определенных условиях на параметр возмущения имеет
решения типа бегущей волны, сглаживающейся на бесконечности, и ав-
тором были получены эти условия. Более того, в некоторых случаях это
уравнение имеет решения типа бегущей волны, сглаживающейся на беско-
нечности, но не имеет решений типа уединенной волны.
Кроме того, автором найдены решения типа уединённой волны возму-
щённого модифицированного уравнения синус-Гордона в случае единичной
по модулю скорости и получена формула этого решения:
(
) (
)
1 − cos (g (ξ))
ξ = ξ0 + C0 − v · a · −1 · ln

1
.
4
sin (g (ξ))
cos (g (ξ))
9

В частности, проанализировано влияние возмущения на решение типа
бегущей волны, сглаживающейся на бесконечности, для модифицирован-
ного уравнения синус-Гордона (см. таблицу 1 на странице 11, где g1 = 2πk,
g2 = π + 2πk, g
+ 2πk, k ∈ Z). Получена связь меж-
2
3 = π + 2πk, g4 = − π
2
ду параметром возмущения, направлением и скоростью движения волны
возмущённого модифицированного уравнения синус-Гордона.
В заключении изложены результаты и сформулированы выводы по
работе.
Основные результаты и выводы
1. Доказано существование решения в бесконечной полосе задачи Коши
возмущённого уравнения Клейна-Гордона (4), причем получена уни-
версальная оценка ширины той полосы, где решения существуют.
2. Получена оценка относительной погрешности решения задачи Коши в
полосе при замене возмущённого уравнения Клейна-Гордона (4) невоз-
мущённым.
3. Доказано, что невозмущенное уравнение (11) имеет решения типа
уединенной волны. Получены формулы для этих решений.
4. Доказано, что возмущенное уравнение (12) при определенных услови-
ях на параметр возмущения имеет решения типа бегущей волны, сгла-
живающейся на бесконечности, но не имеет решений типа уединенной
волны. Получены эти условия.
Доказано существование решения типа уединённой волны возмущён-
ного модифицированного уравнения синус-Гордона (12) в случае еди-
ничной по модулю скорости. Получена формула этого решения.
5. Проанализировано влияние возмущения на решение типа бегущей вол-
ны, сглаживающейся на бесконечности, для возмущенного модифици-
рованного уравнения синус-Гордона (12).
.
10

Таблица 1: Сравнение возмущенного и невозмущенного уравнений по наличию решений
типа бегущей волны, сглаживающейся на бесконечности, при |v| < 1.
Невозмущенное уравнение
Возмущенное уравнение
g
∫ √
Волна, сглаживающаяся на бесконечности: ξ =
3

dg,
8 cos3 g
g2
g
∫ √
v = 0
Волна, сглаживающаяся на бесконечности: ξ =

3

dg,
8 cos3 g
g4 g∫ √
Две волны, сглаживающихся на бесконечности: ξ =
±
3
dg.
8(1−cos3 g)
g1
Волна, сглаживающаяся
на бесконечности:
g
∫ √
Нет.
ξ =
3(1−v2)

dg.
8 cos3 g
g2
Волна, сглаживающаяся
на бесконечности:
0 < |v| < 1
g
∫ √
Нет.
ξ =
− 3(1−v2)

dg.
8 cos3 g
g4
Две волны, сглаживающихся
При av < 0 волна,
на бесконечности:
сглаживающаяся на бесконечностии
g
∫ √
и стремящаяся при ξ → ±∞
ξ =
±
3(1−v2) dg.
8(1−cos3 g)
g
к точкам семейства g
1
3.
Волна, сглаживающаяся
на бесконечности:
v = ±1
Нет.
g

ξ =
∓a
dg.
sin g+sin(3g)
gi
Волна, сглаживающаяся
на бесконечности:
g
∫ √
Нет.
ξ =
3(v2−1) dg.
8 cos3 g
g4
Волна, сглаживающаяся
|
на бесконечности:
v| > 1
g
∫ √
Нет.
ξ =
− 3(v2−1)dg.
8 cos3 g
g2
Две волны, сглаживающихся
При av > 0 волна,
на бесконечности:
сглаживающаяся на бесконечностии
g
∫ √
и стремящаяся при ξ → ±∞
ξ =
±
3(v2−1) dg.
8(1+cos3 g)
g
к точкам семейства g
3
1.
11

Благодарности
Автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю благодар-
ность научному руководителю, доценту Эмилю Ренольдовичу Розендорну
за помощь в выборе темы исследования и внимательное руководство.
Автор весьма признателен доктору физико-математических наук, про-
фессору Алексею Станиславовичу Шамаеву, доценту Ольге Сергеевне
Розановой, кандидату физико-математических наук Быкову Владимиру
Владиславовичу.
Автор также выражает благодарность доктору физико-математических
наук Конькову Андрею Александровичу, и кандидату физико-математи-
ческих наук Романову Максиму Сергеевичу. за внимательное изучение дис-
сертации.
Автор выражает благодарность коллективу кафедры дифференциаль-
ных уравнений за творческую атмосферу и поддержку в работе.
Работы автора по теме диссертации
[1] Данилова Е. А.: Примененние метода последовательных приближе-
ний к решению задачи Коши для уравнения φtt = a2φxx + b (x, t) φt +
f (φ). Обозрение прикл. и промышл. математики, 2006, том 13, вып. 2,
с. 305–306.
[2] Данилова Е.А.: Оценка правомочности упрощения задачи Коши для
уравнения zuv = ϵ1 (u, v) zu + ϵ2 (u, v) zv + F (z). Обозрение прикл. и
промышл. математики, 2007, том 14, вып. 3, с. 531–532.
[3] Данилова Е.А.: Исследование свойств решений одного нелинейного
дифференциального уравнения. Обозрение прикл. и промышл. матема-
тики, 2011, том 18, вып. 2, c. 266–268.
[4] Данилова Е.А.: Об отсутствии решений солитонного типа для одной
модификации уравнения синус-Гордона. Известия высших учебных за-
ведений. Поволжский регион., 2011, № 3 (19), с. 32–36.
12


Похожие:

Автореферат диссертации на соискание ученой степени icon  автореферат диссертации на соискание ученой степени  

Автореферат диссертации на соискание ученой степени iconАвтореферат диссертации на соискание ученой степени  

Автореферат диссертации на соискание ученой степени iconАвтореферат диссертации на соискание ученой степени

Автореферат диссертации на соискание ученой степени iconАвтореферат диссертации на соискание учёной степени
Н. Г. Чернышевского по адресу: г. Саратов, ул. Астраханская, 83, 3-й корп., ауд. 34
Автореферат диссертации на соискание ученой степени iconАвтореферат диссертации на соискание ученой степени
Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М
Автореферат диссертации на соискание ученой степени iconАвтореферат диссертации на соискание ученой степени
Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей
Автореферат диссертации на соискание ученой степени iconАвтореферат диссертации на соискание ученой степени
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. А. М. Горького Санкт-Петербургского государственного
Автореферат диссертации на соискание ученой степени iconАвтореферат диссертации на соискание ученой степени
Лупанов О. Б. О синтезе контактных схем // дан ссср. – 1958. – Т. 119, №  – С. 23–26
Автореферат диссертации на соискание ученой степени iconАвтореферат диссертации на соискание ученой степени
Защита состоится «4» июня 2009 г. в 10 часов на заседании Диссертационного совета в 
Автореферат диссертации на соискание ученой степени iconАвтореферат диссертации на соискание ученой степени
Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики
Разместите кнопку на своём сайте:
TopReferat


База данных защищена авторским правом ©topreferat.znate.ru 2012
обратиться к администрации
ТопРеферат
Главная страница